精品解析：天津市津南区海教园南开中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级数学第一次随堂练习 一、选择题（共12小题） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 5. 若二次函数的对称轴是直线，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了有关“直田（矩形）面积与其长、阔（宽）” 的问题，今有一块矩形面积是1575平方步，其中宽与长的和为80步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是( ) A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 便民商店经营一种商品,在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是 （ ） A. 1554元 B. 1556元 C. 1558元 D. 1560元 12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题） 13. 已知方程，求它的二次项系数、一次项系数、常数项的和为___________． 14. 已知方程的两根是，则______． 15. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点，则该二次函数的表达式为______． 16. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 17. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 三、解答题（共7小题，19、20题8分，21、22、23、24、25题10分） 19. 解下列方程 （1）（配方法）； （2）（公式法）． 20. 用因式分解法解方程 （1） （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 22. 二次函数的自变量与对应的函数的值（部分）如表所示： 0 1 2 … 7 1 1 7 … 解答下列问题： （1）求这个二次函数的解析式； （2）表格中的值等于___________；当时，求的取值范围___________； （3）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 24. 某商品每件进货价为50元,规定每件售价不低于进货价,经市场调查,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系． （1）一批发市场每月想从这种商品销售中获利24000元，该如何给这种商品定价? （2）物价部门规定,该商品的每件售价不得高于65元，设这种商品每月的总利润为w(元) ,那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少? 25. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； （3）设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学第一次随堂练习 一、选择题（共12小题） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误； B：对称轴=4，故B正确； C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误； D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 5. 若二次函数的对称轴是直线，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数对称轴公式求出参数，再代入方程求解． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为直线， ∴ ， 即， ∴， 代入方程 ，得 ， 整理得 ， 因式分解得， 或， ∴， 故选：D． 6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了有关“直田（矩形）面积与其长、阔（宽）” 的问题，今有一块矩形面积是1575平方步，其中宽与长的和为80步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为1575平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设长为步，列方程为， 故选：B． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b与0的大小关系即可作出判断． 【详解】A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，， 二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故A错误； B、一次函数的图象经过一、二、三象限，则，， 二次函数的图象开口向上，则，对称轴，即， 故B正确； C、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，， 二次函数的图象开口向下，则，对称轴，即， 矛盾，故C错误； D、一次函数的图象经过一、二、三象限，则，， 二次函数的图象开口向下，则，矛盾，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论． 8. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 10. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 11. 便民商店经营一种商品,在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是 （ ） A. 1554元 B. 1556元 C. 1558元 D. 1560元 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，y随x的增大而增大， ， 时，y取最大值，此时， 即一周可获得最大利润是1556元， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意自变量的范围． 12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故此选项正确； ②当时，，故，错误； ③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且， 即，代入得，得，故此选项错误； ④当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，（其中，故此选项正确． 故①④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为． 二、填空题（共6小题） 13. 已知方程，求它的二次项系数、一次项系数、常数项的和为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义确定二次项系数，一次项系数，常数项即可求解． 【详解】解：方程 的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1，它们的和为 ； 故答案为：0． 14. 已知方程的两根是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点，则该二次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数的解析式为，再把点B的坐标代入，即可求解． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把点B的坐标代入，得 ，解得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，设出顶点式是解决本题的关键． 16. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 【答案】11 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=55， 整理，得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为11. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】边AB的长是方程的一个根，解方程求得x的值，根据菱形的一条对角线长为8，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】∵解方程， 即， 得：， ∵对角线长为，不能构成三角形； ∴菱形的边长为． ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 三、解答题（共7小题，19、20题8分，21、22、23、24、25题10分） 19. 解下列方程 （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用配方法解一元二次方程即可； （2）直接利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） 移项，得：， 配方，得：，即， ∴，； （2） ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 20. 用因式分解法解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解； （2）利用因式分解的方法求解方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 22. 二次函数的自变量与对应的函数的值（部分）如表所示： 0 1 2 … 7 1 1 7 … 解答下列问题： （1）求这个二次函数的解析式； （2）表格中的值等于___________；当时，求的取值范围___________； （3）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 【答案】（1） （2）17； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式，求函数值，二次函数图象的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据得出顶点坐标为，设该二次函数解析式为，将代入，求出a的值即可； （2）将代入（1）中解析式即可求出m；根据二次函数的性质即可求出y的取值范围； （3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，当和时的函数值为， 对称轴是直线，该函数有最小值，即顶点坐标为， 设该二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， 这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ， 对称轴是直线，该函数有最小值， 时，， 当时，的取值范围是 【小问3详解】 将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长， 可得：， 平移后的二次函数解析式为：． 23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含x的式子表示： 　　， 　　， 　　， （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】（1）；； （2）2或4 （3） 不可能，理由如下： ， ∴， 解得或， ， 四边形的面积不可能等于． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题； （2）表示出，，解方程即可； （3）表示出，，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∵ ， 故答案为：2x；；4x； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得：或4， 当的面积为时，或4； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题． 24. 某商品每件进货价为50元,规定每件售价不低于进货价,经市场调查,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系． （1）一批发市场每月想从这种商品销售中获利24000元，该如何给这种商品定价? （2）物价部门规定,该商品的每件售价不得高于65元，设这种商品每月的总利润为w(元) ,那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】（1）这种商品可定价为每件70元或110元 （2）售价定为每件65元可获得最大利润，最大利润是19500元 【解析】 【分析】（1）由题意知利润，令，计算求解满足要求的解即可； （2）由题意知：，，可得当时，W随着x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意知利润 令 则有 解得或 ∴商品可定价为每件70元或110元． （2）解：由题意知： 当时，W随着x的增大而增大 ∴在时，W取到最大值，最大值为元 ∴售价定为每件65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 【点睛】本题考查了一元二次函数的应用，解一元二次方程．解题的关键在于依据题意列等式． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； （3）设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】（1）；顶点坐标为 （2）存在，，的周长为 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为 ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴的周长的最小值为： 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $