3.1.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的应用及直线与椭圆的位置关系，通过西西里岛山洞传说导入，结合复习回顾表格对比椭圆焦点在x轴和y轴的几何性质，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从性质过渡到实际应用与位置关系判断。 其亮点在于以电影放映灯反光镜、嫦娥四号轨道等实例培养数学眼光，通过判别式判断位置关系、点差法解决中点弦问题发展数学思维，反思与感悟总结解题步骤，典例分层设计。学生能提升知识应用能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆的应用（反光镜、声音探测、桥梁、星体运行； 直线与椭圆的位置关系） 学习目标 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养； 2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养；（重点） 3.能运用直线与椭圆的位置关系用点差法解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运 算的核心素养.（难点） 刘雨萌 导语 传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音， 刘雨萌 椭圆的简单几何性质 复习回顾 引入新知 刘雨萌 典例分析 教材113页例5 刘雨萌 新知探究 椭圆的应用（反光镜、声音探测、桥梁、星体运行 刘雨萌 应用新知 刘雨萌 总结 椭圆有关的简单实际应用问题 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程 第一步 结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 第二步 写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量 第三步 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 第四步 反思与感悟 刘雨萌 练1： 跟踪训练 √ 刘雨萌 解析 刘雨萌 学习笔记83页例1 (多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个 焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是 A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2 C.< D.> √ √ 刘雨萌 11 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1+c1>a2+c2，所以A错误； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1-c1=|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2-c2=|PF|， 所以a1-c1=a2-c2，所以B正确； 所以a1+c2=a2+c1，两边同时平方，得++2a1c2=++2a2c1， 所以-+2a1c2=-+2a2c1， 即+2a1c2=+2a2c1，由图可得，>， 所以2a1c2<2a2c1，即<，所以C错误，D正确. 解析 刘雨萌 12 跟踪训练 跟踪训练1 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　米.  32 设椭圆方程为+=1(a>0)，当点(4，4.5)在椭圆上时，+=1， 解得a=16， ∵车辆高度不超过4.5米， ∴a≥16，d=2a≥32，故拱宽至少为32米. 刘雨萌 反思与感悟 用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 刘雨萌 新知探究 直线与椭圆的位置关系 问题1 类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？ 提示　直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式Δ判断. 刘雨萌 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 解 Δ 0 相切 解 Δ 0 相离 解 Δ 0 注：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况. 新知探究 两 一 无 > = < 刘雨萌 新知探究 问题2 直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示　不能.因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距离不完全相等. 刘雨萌 典例分析 (课本114页例7)　如图，已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：+=1.m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 分析 刘雨萌 由方程组 消去y，得25x2+8mx+m2-225=0. ① 方程①的根的判别式 Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2). 由Δ>0，得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 由Δ=0，得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 由Δ<0，得m<-25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点. 解 刘雨萌 19 跟踪训练 学习笔记84页例2（动图） 已知直线l：y=2x+m，椭圆C：+=1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点？ 直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2+8mx+2m2-4=0， ③ 关于x的一元二次方程的根的判别式 Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. 由Δ>0，得-3<m<3. 于是当-3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 刘雨萌 研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题. 在求最小距离和最大距离问题时，转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 反思与感悟 刘雨萌 学习笔记84页跟踪训练2 若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一公共点，那么a的值为 A. B. C. D.1 随堂演练 √ 因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆，所以a>0， 将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立可得4x2-6x+3-a=0， 则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=0，解得a=. 刘雨萌 典例分析 问题3 已知椭圆的方程为+=1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kAB·kOM的值吗？ 提示　将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得 将两式作差并整理得+=0， 又x1≠x2，则=-，即·=-，从而kAB·=-， 即kAB·kOM=-. 点差法求弦方程 刘雨萌 知识梳理 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1+x2，y1+y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率. 例3 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　 .  x+2y-4=0 刘雨萌 方法一　易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y-1=k(x-2)， 由得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1+x2=. 又M为AB的中点，∴==2，解得k=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0.经检验，所求直线满足题意. 例3 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　 .  刘雨萌 方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1+x2=4，y1+y2=2. 又A，B两点在椭圆上，则+4=16，+4=16， 两式相减得(-)+4(-)=0， 则(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴=-=-=-， 即kAB=-.故所求直线的方程为x+2y-4=0.经检验，所求直线满足题意. 例3 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为 刘雨萌 方法三　设A(x，y)，由于AB的中点为M(2，1)， 则B(4-x，2-y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①-②，化简得x+2y-4=0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-4=0. 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为  刘雨萌 解决椭圆中点弦问题的方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消元后，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用交点在曲线上，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，便可构造出中点坐标和斜率的关系. 反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练3 过点M(1，1)作斜率为-的直线与椭圆C：+=1(a>b>0)相 交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　　　.  设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ∵M(1，1)是线段AB的中点，∴=1，=1. ∵直线AB的方程是y=-(x-1)+1，∴y1-y2=-(x1-x2). 由①②两式相减可得+=0，即+·=0， ∴a=b.∴c=b，∴e==. 刘雨萌 课堂小结 椭圆的简单几何性质 直线与椭圆位置关系 数学思想 常见四应用 椭圆与反光镜的设计原理 椭圆与声音探测问题 椭圆与桥梁问题 椭圆与星体运行轨道问题 判断方法：代数法 切线求法 已知点在椭圆外 已知点在椭圆上 数形结合的重要数学思想 刘雨萌 随堂演练 1.已知直线l：x+y-3=0，椭圆C：+y2=1，则直线l与椭圆C的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 √ 2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得弦的中点坐标为 A. B.C. D. √ 3.若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点，则m的取值范围是 　　　 　　　　　.  (1，3)∪(3，+∞) 刘雨萌 课后作业 步步高练透183页 作业33 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 |x|≤___，|y|≤___ |x|≤___，|y|≤___ 顶点 (___，0)，(0，±b) (___，0)，(0，±a) 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 ( ， ) ( ， ) 焦距 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 e＝ $