第41讲 椭圆及其性质（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第41讲 椭圆及其性质（精讲） 题型目录一览 ①椭圆的定义及其应用 ②求椭圆的标准方程 ③椭圆的几何性质 ④椭圆的离心率 一、知识点梳理 一、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 二、椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 焦半径最大值，最小值 【常用结论】 1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 2.椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 二、题型分类精讲 题型一 椭圆的定义及其应用 策略方法 椭圆定义的应用类型及方法 (1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆． (2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换． (3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题． 【典例1】（单选题）椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【题型训练】 一、单选题 1．方程的化简结果是（　　） A． B． C． D． 2．已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 4．已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（    ） A．2 B．3 C． D． 5．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 6．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 9．已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则 . 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，|PF1|－|PF2|＝ . 14．设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 题型二 求椭圆的标准方程 策略方法 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 【典例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点； （2）a＝4，c＝； （3）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点． 【题型训练】 一、单选题 1．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，则C的方程可能为（　　） A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（