精品解析：云南省保山市隆阳区一类区2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学期中检测卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 二次函数的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵的二次项系数为， ∴抛物线开口向下． 故选：B． 3. 用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】解：∵x2-4x+2=0， 移项得x2-4x=-2， ∴x2-4x+4=-2+4， ∴（x-2）2=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（-2）2−4•a＝0，然后解方程即可． 【详解】根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0， 解得a＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 5. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．利用配方法把一般式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴顶点坐标为． 故选：A． 7. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．从图象中获取正确的信息是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴在轴的右侧，， ∴， 抛物与轴交于正半轴，， 故选：C． 8. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，增长率问题一般用增长后的量增长前的量（1增长率），如果设平均每次降价的百分率为，可以用表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程． 【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为， 即方程为． 故选：A． 9. 若点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴和点关于对称轴的对称点的坐标，再利用二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， 当关于二次函数图象对称轴对称的点的坐标为， ∵点为顶点，值最大。在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 又， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】解：∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为或， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标是， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键． 由题意可知，求出k即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两根为，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴． 故答案为3． 15. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线的解析式是 故答案为：． 16. 某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 ______ 支． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．设有x支参加队伍，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：设有x支参加队伍， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 故答案为：10． 三、解答题（共6小题，共52分） 17. 解下列方程： （1） （2） （3）（用公式法） 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问3详解】 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 18. 已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图像的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）函数图像与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为或； （3） 函数图像如图所示：   （4） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质，即可求解； （2）令和，解方程求解即可； （3）列表，描点，连线即可； （4）根据函数图像，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：将代入函数，则， ∴函数图像与y轴的交点坐标为； 令， 解得， ∴函数图像与x轴的交点坐标为或； 【小问3详解】 解：列表如下： x …… …… y …… …… 描点，连线作出图形的图像略； 【小问4详解】 解：当时，y随x的增大而减小． 19. 应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为 （2）销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润单个利润销售量”可进行求解； （2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 20. 已知关于的方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的周长为10 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程，确定出三边长，根据三角形的三边关系定理可得此情况舍去． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴， 解得， ∴方程为， 解得或， ∴、的值分别为2、4， ∴的周长为； 当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴方程为， 解得， 此时，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上，的周长为10． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 21. 综合题：如图，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是抛物线在第一象限上的一动点，求四边形面积的最大值． （3）在抛物线上是否存在点P，使的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，二次函数和三角形面积的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质． （1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设，根据，列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设，利用三角形面积公式，列出，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将、、代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：存在，点P的坐标为或或或， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴或， ∴或， 解得或或或， 综上，点P的坐标为或或或． 22. 探究题： 在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）判断的形状，并说明理由． （3）在下方，抛物线上是否存在整点P，使得的面积为整数？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形； （3）存在，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题．解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数与坐标轴的交点的坐标的特点求出相应的点的坐标；根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出线段的长度，再根据勾股定理及其逆定理求解即可． （1）将代入即可求出点的坐标，令解一元二次方程，即可求出点的坐标； （2）连接分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理判断的形状； （3）设点且为整数，求出直线的解析式为，连接，过点作轴的垂线交于点，则，再求出，根据的面积为即可解答． 【小问1详解】 解：将代入，则， ∴， 令， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，点P的坐标为或或， 设且为整数， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 连接，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴的面积为 ， 令， ∵的面积为整数， ∴，即， 当时，则，解得（舍去，不是整数）或（舍去，不是整数）， 当时，则，解得（舍去，不是整数）或（舍去，不是整数）， 当时，则，解得或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，则，解得， 则， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期中检测卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3. 用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 5. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是______． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 14. 已知一元二次方程的两根为，则_____． 15. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式是 ______． 16. 某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 ______ 支． 三、解答题（共6小题，共52分） 17. 解下列方程： （1） （2） （3）（用公式法） 18. 已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图像的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 19. 应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知关于的方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21. 综合题：如图，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是抛物线在第一象限上的一动点，求四边形面积的最大值． （3）在抛物线上是否存在点P，使的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 探究题： 在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）判断的形状，并说明理由． （3）在下方，抛物线上是否存在整点P，使得的面积为整数？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $