重庆市巴蜀中学校2027届高三上学期10月高考适应性考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 3．已知向量，，，满足，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．有11个周末听讲座的名额要随机分配给A，B，C，D四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（ ） A．50种 B．120种 C．210种 D．310种 5．若，则（ ） A．3 B． C． D． 6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．如图1所示，“六芒星”是以中心为的正三角形各边的两个三分点为顶点再向外作正三角形而形成的，点为该“六芒星”边上的动点，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．设，若关于的方程有五个不同的实数解、、、、，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且，则（ ） A． B． C． D．的面积大于2 11．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A． B．函数的图象关于对称 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知正项等比数列满足，，成等差数列，则_______． 13．函数在上的值域为，则的取值范围为_______． 14．已知定义在上的函数的导数为，且满足，，则的解析式为_______；若关于的不等式在内仅有一个整数解，则实数的取值范围为_______．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市200名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 70 30 100 女性 80 20 100 合计 150 50 200 （1）试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ （2）用频率估计概率，现从该市随机抽取10名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； （3）户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：， 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分） 如图2，几何体是底面为菱形的直四棱柱截去三棱锥后剩余的部分，，． （1）求证：平面； （2）设是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求整数的最大值． 18．（本小题满分17分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，且的面积等于4． （ⅰ）求内切圆半径的取值范围； （ⅱ）当内切圆半径最大时，若点，，分别是边，和上的动点，且为等边三角形，求边长的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知平面上的动点到直线和的距离之积为定值，且． （1）求动点的轨迹的方程； （2），（在的左边）为上的相异的两点，且为线段的中点，过，分别作，的平行线，交于点，过作直线的平行线，交于，（在的左边），再过，分别作，的平行线，交于点，…，一直如此操作下去可得到一点列，，…，． （ⅰ）证明：平分线段； （ⅱ）试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A A C D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABC AC ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2 [－4，－2] f（x）＝ 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联， ， 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立，即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联． （2）用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率， 抽取10名市民中喜欢室外运动的人数X服从二项分布X~B． 由二项分布期望公式得：E（X）＝np＝； 由二项分布方差公式得：D（X）＝np（1－p）． （3）设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3）， 则， ， ∴，解得， 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为 16．（本小题满分15分） （1）证明：在直四棱柱中，CD∥且CD＝． 因为四边形ABCD为菱形，则AB∥CD且AB＝CD，∴AB∥且AB＝， 所以四边形为平行四边形，∴∥． 又⊂平面，平面，∴∥平面 （2）解：由四边形ABCD为菱形，可得ED⊥EC，取的中点F， 连接EF，为直棱柱，则EF⊥平面ABCD． 设AB＝＝2， 则以E为原点，分别以EC，ED，EF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， E（0，0，0），A（，0，0），D（0，1，0），（0，－1，2），（0，1，2）， 则＝（0，1，－2），＝（0，2，0），＝（，1，2）． 设平面的法向量为， 则令，得＝（2，0，）． 设直线与平面所成角为θ， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 17．（本小题满分15分） 解：（1）函数f（x）的的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝lnx＋2， x∈（0，），f'（x）＜0，x∈，f'（x）＞0， 即函数f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以f（x）的极小值是，无极大值． （2）因为f（x）＞（2m－1）x－m对任意x＞1恒成立， 即x＋xlnx＞m（x－1）对任意的x＞1恒成立， 即对任意x＞1恒成立．令g（x）＝， 则g'（x）＝，令h（x）＝x－lnx－2（x＞1）， 则h'（x）＝，于是得函数h（x）在（1，＋∞）上单调递增， 而h（3）＝1－ln3＜0，h（4）＝2－2ln2＞0，方程h（x）＝0在（1，＋∞）上存在唯一实根； ∈（3，4），并满足． 当1＜x＜时，h（x）＜0，即g'（x）＜0； 当x＞时，h（x）＞0，即g'（x）＞0， 从而得函数g（x）＝在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上 单 调 递增， 即有， 则，所以整数m的最大值是3． 18．（本小题满分17分） （1）证明：∵，∴， 即．∵C∈（0，π），∴0＜sinC≤1， ∴． 由正弦定理知（其中R为△ABC的外接圆半径）， ∴． （2）（i）解：由余弦定理结合（1）有． 又∵C∈（0，π），∴C∈（0，] 当C∈（0，）时，A＋B＞，又cosAcosB＞0，A，B∈（0，π），且A＋B＜π， ∴A，B∈（0，），∴＞A＞－B＞0． 又y＝sinx在（0，）上单调递增，∴， ∴，∴， 即，矛盾， 故C＝，满足，所以△ABC为直角三角形． 由△ABC的面积等于， 且，． 令t＝a＋b，则（当且仅当时取等号）， 即，∴． ∵在t∈[，＋∞）上单调递增且函数值恒正， ∴在t∈[，＋∞）上单调递减， 所以，当时，；当t→＋∞时，r→0，故r∈（0，]． （ii）解：由（i）知：当，即A＝B＝时，r最大． 如图，设等边△DEF边长为t，∠EFC＝，∈（0，）， 在Rt△EFC中，∠C＝，，∠FEC＝． 因为∠DEF＝，所以∠DEB＝－∠FEC－∠DEF＝， 在△DEB中，∠B＝，∠BDE＝－∠B－∠DEB＝， 由正弦定理，得． 因为，即， 整理得：． 因为，所以时，， 即△DEF边长的最小值为． 19．（本小题满分17分） （1）解：由题知：，即． 又，∴，故P点的轨迹E的方程为． （2）（i）证明：如图， ∵均在E上，∴， 两式相减得， 即．① 又为线段的中点，∴， ∴．设直线的方程为（）， 则， ∴，直线的方程为． 又，即， 同理直线的方程为， 设，则联立两直线方程， 解得， 又∵即，即在直线y＝x上． 设线段的中点为，同①推导可得． 又，∴，即也在直线y＝x上． 又和都在直线上，∴和重合， 即平分线段． （ii）解：是定值，该定值为，理由如下： 设，则直线方程为，即（i）中． 根据（i）可得， 又， ， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $