精品解析：2025年 浙江省高中名校自主招生选拔考试数学试题 （10月）

2025年浙江高中名校自主招生选拔考试 数学试题 一、选择题（每小题6分，共48分） 1. 从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） - （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） - （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） - 总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种． 所以恰好为一男一女的概率． 故选：C． 2. 正六边形内接于，正六边形外切于，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形和圆计算，也利用了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质解决问题．首先根据正六边形的性质得到它们的半径之比，然后利用相似多边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，为的内接正六边形的半径，为的外切正六边形的半径， 依题意，， ， 由于所有正六边形都是相似的， ∴与的面积比． 故选：B． 3. 已知，，为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 选项B，∵ ． ∴ ，故该选项正确； 选项C，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 选项D，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 故选：B． 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数自变量的取值范围，采用特殊值法、排除法将不适合题意的图象排除即可． 采用特殊值法，取和，分别计算的值，根据图象利用排除法即可得出答案． 【详解】解：当时，取， 则， 故排除、选项， 当时，取， 则， 故排除选项， 故选：． 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（ ） A. 甲、丙 B. 乙、戊 C. 丁、己 D. 甲、戊 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 6. 设，，为相邻的整数，，则（ ） A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 C. 有时是无理数 D. 奇数偶数均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据，为相邻的整数，不妨假设，则，进而得，由此得，则，然后分别按照为奇数和为偶数进行讨论即可得出结论． 【详解】解：，为相邻的整数， 不妨假设， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴， 当为奇数时，为奇数，则为偶数， 为奇数， 当为偶数时，为偶数，则为偶数， 为奇数， 综上所述：一定为奇数． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法与技巧，理解算术平方根的意义是解决问题的关键． 7. 已知对于任意的，，…，，关于的方程，在的范围内至少有一个根，则（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、不等式的性质、函数的最值，利用绝对值的几何意义进行分析是解题的关键． 不妨设，记，其中，则题目转化为恒成立，再通过分析函数的性质，找到的最值进行求解即可． 【详解】解：不妨设， 记，其中，则表示数轴上到，，…，的距离之和， ∵方程，在的范围内至少有一个根， ∴恒成立， 由绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴为和中较大的一个， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 8. 如图，点是直角三角形斜边延长线上一点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先延长过点作于点，设，则，然后证明，可得，即，可求出，，，又，，则，可得，即，求解即可． 【详解】解：延长，过点作于点， ， ， 设，则， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：（舍），， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定及性质、含角的直角三角形，熟练掌握勾股定理公式和直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题6分，共48分） 9 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘法的意义，积的乘方，同底数幂的除法，先根据乘法的意义得，逆用同底数幂的乘法法则得，然后利用同底数幂的除法法则即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案：． 10. 如果等腰三角形一边上的中线等于这边长，则它的底角的正切值为________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，能根据题意画出示意图并熟知正切的定义是解题的关键．根据中线在腰上和底边上进行分类，画出图形即可解决问题． 【详解】解：当底边上的中线等于底边长时，如图所示， 令，则， ，且为边上的中线， ，． 在中， ． 当腰上的中线等于腰长时，如图所示， 分别过点，作的垂线，垂足分别为和， 令，， 为边上的中线， ． ，， ， ， ， 则， ． 在中， ， 在中， ． ， ． 在中， ， ， ． 综上所述，底角的正切值为：或． 故答案为：或． 11. 将自然数0，1，2，3，……，按第组含个数分组：，，，……，记表示第组中第个数，如．若，则______，_____． 【答案】 ①. 63 ②. 8 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给分组方式得出第n组数的最后一个数的表示方式是解题的关键．根据所给分组方式，得出每组最后一个数的特征，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为第组含个数， 所以前组数的总个数可表示为：； 则第组的最后一个数可表示为：； 当时，． 又因为， 所以2022是第63组中的第8个数， 则，． 故答案为：63，8． 12. 已知，把用含的有理系数的三次多项式表示，即（为有理数，且），则这个三次多项式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分母有理化和多项式，掌握分母有理化的方法是解题的关键．将的分母有理化，代入进行整理，令二次根式的系数和有理数项分别为，得到关于、、、的方程组并求解即可． 【详解】解：， ， ， 令， 解得， 这个三次多项式为． 故答案为：． 13. 不论取不等于1的任意实数，一次函数的图象都与以为圆心的圆有交点，则的面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数恒过定点问题、圆的面积、两点间距离公式．明确一次函数恒过定点的坐标在圆上或者圆内才能使得的面积取得最小值，得出定点与点之间的距离是解题的关键． 对一次函数进行变形，通过一次函数恒过定点，可求出定点坐标，根据一次函数与以为圆心的圆有交点，所以可以确定这个定点在圆上或圆内有最小值，根据两点间距离公式即可求出半径，再根据的取值求出半径的最小值，圆面积的最小值即可求解． 【详解】解：， ， 当时，， 一次函数恒过定点． 不论取何值（），一次函数图象都与该圆有交点， 点必然在圆上或者圆内， ∵点到圆心的距离， 面积最小值为． 故答案：． 14. 如图，正六边形的边长为1，线段在正六边形内，且，点为正六边形内任一点（点，，可在正六边形的边界上），则的面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、正多边形和圆，正确作出辅助线是解决此题的关键．过点作于点，交于点，过、分别作于、于，设，则，由正多边形性质可得，，然后根据三角形面积公式及最值问题可得答案． 【详解】解：过点作于点，交于点，过、分别作于、于，连接，过作于， 由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，同理可得，， 设，则， ， ， 的面积 ， 当，即当、分别在、的中点时，的最大面积为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，弦于点，点在线段上，且，连结并延长交于点，连接交于点．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理，勾股定理求得线段，，再利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 是的直径，， ， ． ，， ， ． 是的直径，， ， ． ， ． 是的直径，， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 16. 学校组织部分学生参加某项测试，要求解答五个题目，并且规定答对三题或三题以上的同学为合格．测试结果有72人合格，统计每题答对的人数分别为：83，93，87，81，76人，则参加这次测试的学生至少有_______人． 【答案】102 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的应用，熟练掌握根据题目中的数量关系建立不等式是解题的关键．要使参加测试的学生人数最少，应让合格学生答对的题目尽可能多，不合格学生答对的题目尽可能少，通过设未知数，根据答对题目总数的关系列方程求解． 【详解】解：设参加测试的学生有人． 要使参加测试的学生人数最少，应使每人答对的题目数尽可能多．72名合格学生（答对三题或三题以上）最多答对题，名不合格学生（答对两题或两题以下）最多答对题．总答对题数为．由题意可得 ， 解得． 所以参加这次测试的学生至少有102人． 故答案为：102． 三、解答题（第17、18、19、20题各20分，第21题24分，共104分） 17. 已知，． （1）求及的值； （2）求不超过的最大整数． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及规律探究，熟练掌握乘法公式、完全平方公式以及通过递推找规律是解题的关键． （1）对于求和的值，利用乘法公式和完全平方公式变形计算； （2）通过分析的幂次规律，进而确定不超过的最大整数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴即 ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ， ∵， ∴ ∴不超过的最大整数为． 18. 已知关于的方程． （1）当时，求这个方程的根． （2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，因式分解，把原方程的左边分解因式得到是解题的关键． （1）把原方程左边分解因式得到，则可得到或，分别解两个方程即可得到答案； （2）根据（1）所求结合题意可得方程有两个相等的实数根或是方程的一个根，据此讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴或， 解方程得， 解方程得或， ∴原方程的根为； 【小问2详解】 解：由（1）可知原方程可变形为， ∴或， ∴原方程有一个解为， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根或是方程的一个根， 当方程有两个相等的实数根时，则，解得或， 当时，方程即为方程，解得， 而此时方程的解为，即此时原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 当时，方程即为方程，解得， 而此时方程的解为，即此时原方程只有一个实数根，不符合题意； 当是方程的一个根时，则，解得或（舍去）， 当时，原方程为，解得，而此时方程的解为，即此时原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 综上所述，或． 19. 定义：对于给定的一个函数，另一个函数称为它的互联函数须满足下列条件：任取自变量的一个值，若，则它的互联函数值与原函数值互为相反数；若，则它的互联函数值比原函数值大1．如函数，它的互联函数为． （1）已知函数． ①写出它的互联函数表达式； ②当时，求它的互联函数的取值范围． （2）已知二次函数． ①对于的任一值，当它的互联函数时，对应的自变量都有三个值，求的取值范围． ②若，当时，它的互联函数的取值范围为，求的取值范围． 【答案】（1）①；②或． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）①根据互联函数的定义即可得出解析式；②分和两种情况讨论，结合一次函数的性质即可求解． （2）先根据定义得出二次函数的互联函数，再作出函数的大致图象，利用数形结合思想求解；②作出当时的函数图象，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意可得，函数的互联函数为． ②当时，函数单调递减， ； 当时，函数单调递增， ． 综上，当时，它的互联函数的取值范围为或． 【小问2详解】 解：①二次函数的互联函数为， 函数与轴交点的纵坐标为， 函数与轴交点的纵坐标为，其函数图象的对称轴为直线，当，， 作出两函数的大致图象如图所示， 由图可知，当时，要使对应的自变量都有三个值，则，解得， 的任一值，当时，对应的自变量都有三个值， 即直线与图象有三个交点， ，解得：． ②当时，， 作出其图象如图所示， 由图可知，互联函数的取值范围为，， 当时，互联函数的取值范围为， ． 【点睛】本题主要考查有关函数的新定义问题、一次函数的性质、二次函数的图象与性质，解题关键是理解新定义并正确列出关于的互联函数解析式，结合数形结合思想解决问题． 20. 如图，在等腰中，，为上一点，于，． （1）如图1，若，，求和的长． （2）如图2，当为任意锐角时，从（1）中猜想与的数量关系，用等式表示，并给出证明． 【答案】（1），． （2）．证明见解析． 【解析】 【分析】（1）过作，．由，设，则，由勾股定理得，列方程为，计算得，换算得，故，，由为等腰直角三角形，得，再计算即可． （2）延长至，使，连．设，，换算得，设，，故，，，故． 【小问1详解】 解：过作，． ， 设，则， ． ． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 综上，，． 【小问2详解】 解：．理由如下： 延长至，使，连接． 设，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合题，掌握的直角三角形的性质，以及勾股定理，是解题关键． 21. 【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】（1）；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）有切线连半径，在圆中有切线证角相等，通常通过互余关系证明，所以连接并延长，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）要证是中点，则需证，先想证全等，通过观察发现，除了之外，并无等线段，不好证明，则可通过相似转化等比例线段去证，先证得到，再证得到，所以最后证出即可得证． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， 与切于点， ，即， 是的直径， ， ∴， ∵， ， ∴． （2）证明：如图，连接、． 由（1）结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即①， ∵，是圆的切线， ， 又∵， ∴， ∴，即②， 同理可得， ∴，， 、是过圆外一点作的圆的两条切线， ， ，即③， 由式①、②、③即知， 是线段中点． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，本题难点在于第二问如何通过多个相似去转化，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江高中名校自主招生选拔考试 数学试题 一、选择题（每小题6分，共48分） 1. 从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 正六边形内接于，正六边形外切于，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（ ） A. 甲、丙 B. 乙、戊 C. 丁、己 D. 甲、戊 6. 设，，为相邻的整数，，则（ ） A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 C. 有时是无理数 D. 奇数偶数均有可能 7. 已知对于任意的，，…，，关于的方程，在的范围内至少有一个根，则（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，点直角三角形斜边延长线上一点，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题6分，共48分） 9. 已知，则________． 10. 如果等腰三角形一边上的中线等于这边长，则它的底角的正切值为________． 11. 将自然数0，1，2，3，……，按第组含个数分组：，，，……，记表示第组中第个数，如．若，则______，_____． 12. 已知，把用含的有理系数的三次多项式表示，即（为有理数，且），则这个三次多项式为_______． 13. 不论取不等于1的任意实数，一次函数的图象都与以为圆心的圆有交点，则的面积的最小值为______． 14. 如图，正六边形的边长为1，线段在正六边形内，且，点为正六边形内任一点（点，，可在正六边形的边界上），则的面积的最大值为_______． 15. 如图，是的直径，弦于点，点在线段上，且，连结并延长交于点，连接交于点．若，，则________． 16. 学校组织部分学生参加某项测试，要求解答五个题目，并且规定答对三题或三题以上的同学为合格．测试结果有72人合格，统计每题答对的人数分别为：83，93，87，81，76人，则参加这次测试的学生至少有_______人． 三、解答题（第17、18、19、20题各20分，第21题24分，共104分） 17 已知，． （1）求及的值； （2）求不超过的最大整数． 18. 已知关于的方程． （1）当时，求这个方程的根． （2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的值． 19. 定义：对于给定的一个函数，另一个函数称为它的互联函数须满足下列条件：任取自变量的一个值，若，则它的互联函数值与原函数值互为相反数；若，则它的互联函数值比原函数值大1．如函数，它的互联函数为． （1）已知函数． ①写出它的互联函数表达式； ②当时，求它的互联函数的取值范围． （2）已知二次函数． ①对于的任一值，当它的互联函数时，对应的自变量都有三个值，求的取值范围． ②若，当时，它的互联函数的取值范围为，求的取值范围． 20. 如图，在等腰中，，上一点，于，． （1）如图1，若，，求和的长． （2）如图2，当为任意锐角时，从（1）中猜想与数量关系，用等式表示，并给出证明． 21. 【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $