精品解析：安徽省阜南实验中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试题

阜南实验中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用直线倾斜角概念即可. 【详解】直线垂直于轴，所以其倾斜角为. 故选：B. 2. 已知两条直线和相互垂直，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 3. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 4. 圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 5. 已知实数满足方程，则的最大值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】表示圆上的点与点的连线的斜率，数形结合可得解. 【详解】的方程可化为， 它表示圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点与点的连线的斜率， 设过圆上点与点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 可得，即最大值为， 故选：B. 6. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 8. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接， 则， 由可得， 故， 故由余弦定理可得， 化简可得，故， 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 直线在y轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. 过点且在轴截距相反的直线方程为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】运用截距概念判断A，运用斜率求倾斜角判断B，分情况求出直线方程即可判断C，求出直线方程判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，直线 的斜率为，求得倾斜角为，故B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为.故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为. 故D正确. 故选：BD. 10. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被直线截得的弦最短时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆的圆心、半径，再逐一分析、计算各选项判断作答. 【详解】依题意，直线：可化为， 由解得，，即直线过定点，A不正确； 圆：的圆心，半径，， 即点P在圆内，直线与圆恒相交，B正确； 圆心到x轴的距离，则圆被轴截得的弦长为，C不正确； 由于直线过定点，圆心，则直线PC的斜率， 当圆被直线截得的弦最短时，由圆的性质知，，于是得，解得，D正确. 故选：BD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（） A. 的周长为12 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 若直线PA，PB的斜率都存在，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆定义判断A，直接计算离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，利用作差法求判断D. 【详解】由椭圆方程可知，， 所以， 由椭圆定义知，的周长等于，故A错误； 椭圆的离心率，故B正确； 由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故C正确； 设，，则，所以， 由点在椭圆上可得，两式相减可得， 化简可得，即，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可. 【详解】因为抛物线方程是， 转化为标准方程得：， 所以抛物线开口方向向上，焦点坐标为, 准线方程为：， 所以焦点到准线的距离等于. 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 13. 已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为__________． 【答案】33 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线的定义运算求解，并结合三角形的性质检验. 【详解】由双曲线方程可知， 设双曲线的左、右焦点分别为，则， 根据对称性不妨设， 由双曲线定义可得，解得或， 若，可知，符合题意； 若，可知，不符合题意； 综上所述：到另一个焦点的距离为33. 故答案为：33. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得点A，，的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值． 【详解】由椭圆C：可得：，，，． ，由对称性，不妨令． 设，则又， ， 的最大值为． 故答案为：. 四､解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形ABC的三个顶点的坐标为､､. （1）求AB边的垂直平分线所在直线的截距式方程； （2）求过点C与AB边平行直线的一般式方程； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）根据直线平行与斜率的关系即可得到所求直线的斜率，再写出点斜式方程，最后化简成一般式方程即可. 【小问1详解】 三角形ABC的三个顶点的坐标为､､. 则的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为， 即一般式方程为：， 则截距式方程为． 【小问2详解】 ，则过点C与AB边平行直线方程为， 即. 16. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【小问1详解】 根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 18. 已知圆，直线过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）圆心为，半径为2； （2）或； （3），或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程化成标准方程即可求解； （2）先考虑直线斜率不存在时是否满足要求，再考虑直线斜率存在时，利用圆心到直线距离求出直线的方程； （3）方法一：设出直线方程，利用垂径定理得到的面积函数，由均值不等式的结论可得面积的最大值及此时直线的方程； 方法二：利用三角形面积公式表达出，得到当时，取最大值2，此时点到的距离为，利用点到直线距离求出直线斜率，得到此时直线的方程. 【小问1详解】 由 可得： 所以圆心的圆心坐标为，半径为2； 【小问2详解】 ①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意； ②若直线斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 即，解得， 所求直线的方程是或； 【小问3详解】 方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为， 则圆心到直的距离， 又∵三角形CPQ面积 ， 当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2， 由，有，或， 此时直线方程为，或． 方法二：， 当时，取最大值2， 此时点到的距离为， 设：， 由，解得或， 故所求直线的方程为或. 19. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. （1）求椭圆的方程； （2）记直线，的斜率分别为、，求的值； （3）证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可得答案； （2）法一：设，写出圆的方程为：，利用圆过，代入圆的方程得，化简，即得答案；法二：设，圆半径为r，写出圆方程，圆过，可得，由此化简，，即得答案. （3）设直线，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标. 【小问1详解】 由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 法一：设，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中的定点问题，解答时要利用设方程，求出参数之间的关系，利用直线的点斜式确定定点坐标，要特别注意计算的复杂性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜南实验中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知两条直线和相互垂直，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1 B. C. D. 5. 已知实数满足方程，则的最大值是（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 直线在y轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. 过点且在轴截距相反的直线方程为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 10. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被直线截得的弦最短时， 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（） A. 的周长为12 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 若直线PA，PB的斜率都存在，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 13. 已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为______． 四､解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形ABC的三个顶点的坐标为､､. （1）求AB边的垂直平分线所在直线的截距式方程； （2）求过点C与AB边平行直线的一般式方程； 16. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 18. 已知圆，直线过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 19. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. （1）求椭圆的方程； （2）记直线，的斜率分别为、，求的值； （3）证明：直线过定点，并求该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $