精品解析：安徽省合肥市第五十中学西校2025-2026学年九年级上学期数学练习试卷

九年级数学练习 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1 A. B. C. D. 5. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 8. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点分别在边上．将四边形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，连接、，则下面四个结论中错误的是（ ） A. B. 线段的取值范围为 C. D. 的最小值为 10. 抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点在第___________象限． 12. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是___________米． 13. 如图所示，已知点是轴正半轴上的一点，过点作轴，分别交反比例函数和的图象于点，以为对角线作．若点在轴上，的面积为12，则的值为___________． 14. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列问题： （1）_______； （2）当△MEN与△ABM相似时，AN=_______. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，且，求的值． 16. 已知抛物线（是常数）． （1）求证：无论取何值，抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 18. 如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 20. 如图，一次函数． 与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点 Q，若面积为3，求点P的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 七、（本题满分12分） 22. 如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． （1）求证：； （2）求的值； （3）若，直接写出的长为________． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．由已知条件，可设，（其中），代入各选项逐一验证是否成立． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于A：，成立． 对于B：，成立． 对于C：，不成立． 对于D：，成立． ∴不成立的是C． 故选：C． 2. 将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵ 原抛物线 的顶点为， 目标抛物线的顶点为， ∴ 顶点从 平移到 ， 在x方向上，从0到，向左平移1个单位， 在y方向上，从0到，向下平移2个单位， ∴ 平移方式为向左平移1个单位，再向下平移2个单位． 故选：A． 3. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． 验证选项：A．：当时，，不满足； B．：当时，，不满足； C．：当时，，不满足； D．：当时，，满足． ∴函数图象必经过点． 故选：D． 4. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了二次函数与一元二次方程的关系，通过观察二次函数值的符号变化，确定一元二次方程根的所在区间． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程 的一个解 在 和 之间，即 ． 故选：B． 5. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 6. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到DEAB，DC=BA，得到△DEF∽△BAF， 得到，，从而得到，整理即可． 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DEAB，DC=BA， 所以△DEF∽△BAF， 所以，， 所以， 所以==4：10：25， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的函数图象可知，，进一步推出二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，由此即可得到答案． 【详解】解：由二次函数的图象可知，， ∴二次函数的开口向下，与轴交于正半轴， ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴方程的两个根为， ∴二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1， 综上所述，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，点分别在边上．将四边形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，连接、，则下面四个结论中错误的是（ ） A. B. 线段的取值范围为 C. D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠和矩形的性质，相似三角形的判定与性质．利用翻折变换，矩形的性质，轴对称的性质解答． 由折叠性质可知，折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，则垂直平分，，得到选项A结论正确；当在和点时，分别求出，即可得到线段的取值范围为，选项B结论正确；过作于，证明得到，选项C结论正确；作关于的对称点，连接、，根据对称性得到，当且仅当、、共线时，等号成立，此时，即的最小值为，得到选项D结论错误． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 由折叠性质可知，折叠后对应点的连线被折痕垂直平分， ∴垂直平分，， ∴选项A结论正确，不合题意； 当在点时，； 当在点时，，，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴线段的取值范围为， ∴选项B结论正确，不合题意； 过作于，则， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴选项C结论正确，不合题意； 作关于的对称点，连接、， ∴，， ∴，当且仅当、、共线时，等号成立， 此时，， ∴， ∴的最小值为， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、开口方向、函数值比较等，根据抛物线经过点，且，可求对称轴；由开口向下和点位置判断函数值范围；当时，计算顶点纵坐标最大值小于2，方程无解；由条件，，总有，推导对称轴位置要求，得m范围． 【详解】解：∵ 抛物线（是常数，）经过，两点， ∴ 对称轴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故结论①错误； ∵， ∴ 点与距离为， ∵，抛物线开口向下，顶点在y轴左侧，且纵坐标大于1， 当时，，此区间内函数值均大于1， 即， 故结论②正确； 当时，抛物线为， 代入点得， ∴， 设顶点纵坐标， 由①知，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 方程无实数解， 故结论③正确； 设对称轴， ∵，开口向下，且总有时， ∴和均在对称轴右侧， 要求当时，， 即， ∴， 解得， 故结论④正确． 综上，正确结论有②③④，一共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点在第___________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】该题考察了二次函数的性质，通过配方法将抛物线解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：， 所以顶点坐标为 ，由于横坐标和纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 故答案为：三． 12. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即线段上距离处6米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 13. 如图所示，已知点是轴正半轴上的一点，过点作轴，分别交反比例函数和的图象于点，以为对角线作．若点在轴上，的面积为12，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确应用的前提．连接，根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积为12可求出，利用反比例函数系数的几何意义可得，进而求出答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ， 又 ∵四边形是平行四边形，为对角线， ， 由反比例函数系数的几何意义得，， ， ， 解得：（舍去）， 故答案为：． 14. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列问题： （1）_______； （2）当△MEN与△ABM相似时，AN=_______. 【答案】 ①. ②. 或##2或5 【解析】 【分析】（1）根据为正方形，得，再推导出，证明出，在中，，即可算出； （2）①当，由（1）得，证明，得出，由勾股定理：，得，再利用相似求解；②当时，得，，证明出四边形为矩形，根据，即可得到． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， 故答案为：； （2）①当时， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理：， 由， ， 即：， 解得：； ②当时，如下图： ，， ， ， 四边形为矩形， ， 故答案为：5或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定及性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理、矩形的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及利用相似的性质建立等式进行求解． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，且，求的值． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，而，那么，求出，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ， ， 解得：， ， ． 16. 已知抛物线（是常数）． （1）求证：无论取何值，抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求的值． 【答案】（1） 证明：令， 则 ， ， ， ∴无论取何值，抛物线与轴总有交点． （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，掌握抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式列方程求解的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由， 令， ， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴两个交点之间的距离为， 则， ∴或， 解得：或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点D即为所求． 18. 如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 20. 如图，一次函数． 与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点 Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设点P的横坐标为p， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 六、（本题满分12分） 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． （1）求证：； （2）求的值； （3）若，直接写出的长为________． 【答案】（1）见详解 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据点为的中点，得出，根据，得出，设，则，根据，得出，根据，得出，从而得； （3）由（2）知，，则，证明，得出，求出，，证明，得出，由（2）知，设，则，则，从而求出，在 中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， 在与中，， ． 【小问2详解】 解：∵点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ∵， ∴， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，设，则， ， 即， 解得：或（舍去）， ， 在 中，． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入即可求解． （2）由（1）可知，得出，根据点的横坐标为，得出，，从而表示出，即可求解． （3）根据点在直线上，点在抛物线上，得出，，将代入，得出，整理得：，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ∵点的横坐标为， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴，， 当时，， ， 故， 整理得：， 故当时，最小，最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $