精品解析： 陕西省榆林市高新区第二中学2025-2026学年上学期期中调研九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵、、，是成比例线段， ∴ ∵，，， ∴ 故选：A． 2. 已知左图是下列四个几何体中某个几何体的俯视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的俯视图，分别作出选项中几何体的俯视图再进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项不符合题意； B、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项不符合题意； C、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项不符合题意； D、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，平行线的性质，根据菱形的性质得，由可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤以及方法． 使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，再两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式． 【详解】∵, ∴ ∴ ∴ 故配方后方程为 ， 故选：D． 5. 如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 6. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C， 依题意可列表格如下， 小霞 小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， ∴她们恰好选到同一类岗位的概率是． 故选B． 7. 如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用矩形的性质得到，,结合等腰三角形的性质的度数，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，, ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，由正方形的性质可得，，，由可求出，由勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程，根据题意，需要构造一个一元二次方程，使得二次项系数与常数项的乘积为6．二次项系数和常数项可任意选择，只要满足乘积为6即可，一次项系数可任意取值． 【详解】解：设一元二次方程为 ，其中 a 为二次项系数，c 为常数项． 由条件知， 选择，则，再选择， 得到方程． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴周长比为， ∵四边形的周长为4， 则四边形的周长为． 故答案为：14． 11. 近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 【详解】解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为万元，2025年收入为万元． 根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为， 故答案为：． 12. 如图，菱形的边长为10，对角线、交于点，，则菱形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，所对的直角边等于斜边一半，勾股定理等知识；由菱形的性质得，，，根据所对的直角边等于斜边一半求出，根据勾股定理得出，从而得出，，利用菱形面积计算公式可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 14. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用因式分解法进行解一元二次方程．令每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 16. 小李有蓝色和绿色的弹珠共100个，这些弹珠除颜色外均相同，现将所有弹珠放入不透明的箱子中，混匀后任意取出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，一共取了20次，其中有5次取到蓝色的弹珠，请你估计小李有多少个绿色的弹珠． 【答案】75个 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，设小李有个绿色的弹珠，根据概率的求法列方程求解即可 【详解】解：设小李有个绿色的弹珠， 由题意得：， 解得， 小李有75个绿色的弹珠． 17. 某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】 该几何体的三视图如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了画几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形，左视图是从几何体的左面看到的图形，俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行逐个作图，即可作答． 【详解】略 18. 如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键．尺规作即可． 【详解】略 19. 如图，四边形是菱形，延长至点，使得，连接交边于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形，， ， ， 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得出，，再证明即可． 【详解】略 20. 化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题题考查了概率的计算，用列表法或树状图法求概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下：         由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化碳）的结果有2种， ∴化学老师与小明摸出的小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率为． 21. 已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影； （2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长 【答案】（1） 如图所示，线段就是的投影． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知连接，过点作，即可得出就是的投影； （2）利用三角形得出比例式，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：太阳光线是平行的， ∴． ． 又， ． ， ，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），且与的相似比为，并写出点、的坐标； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 23. 如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 24. 如图，在中，对角线与相交于点，过点作于点，过点作，交于点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若四边形的面积为24，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，则，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形面积求出，得，由勾股定理得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形的面积为， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 又 ． 25. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． （1）方程是“差积方程”吗？请说明理由； （2）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 【答案】（1） 解：不是，理由如下： 解方程得：， ， ， 方程不是“差积方程”． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法． （1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）设的另一个根为，根据“差积方程”的定义列式求出，代入方程，求出的值即可解答问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为， 是“差积方程”， ， 即或，解得， 将和分别代入中， 得 解得 ． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，分别是边上的点，分别连接、交于点，，延长至点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某市城区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点、分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观处，为人行步道，同时修建一条穿过点的特色步道（点、分别在边、上），且，将点规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值．（廊道宽度忽略不计） 【答案】 （1）证明： ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造正方形是解答本题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知左图是下列四个几何体中某个几何体的俯视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是___________．（写出一个即可） 10. 已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为___________． 11. 近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 12. 如图，菱形的边长为10，对角线、交于点，，则菱形的面积为___________． 13. 如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 14. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 小李有蓝色和绿色的弹珠共100个，这些弹珠除颜色外均相同，现将所有弹珠放入不透明的箱子中，混匀后任意取出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，一共取了20次，其中有5次取到蓝色的弹珠，请你估计小李有多少个绿色的弹珠． 17. 某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 18. 如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，四边形是菱形，延长至点，使得，连接交边于点．求证：． 20. 化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 21. 已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影； （2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），且与的相似比为，并写出点、的坐标； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 23. 如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 24. 如图，在中，对角线与相交于点，过点作于点，过点作，交于点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若四边形的面积为24，，求的长． 25. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 解得， ， ， 是差积方程． （1）方程是“差积方程”吗？请说明理由； （2）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，分别是边上的点，分别连接、交于点，，延长至点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某市城区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点、分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观处，为人行步道，同时修建一条穿过点的特色步道（点、分别在边、上），且，将点规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值．（廊道宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $