5.2.2二次函数的图像与性质 讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.2.2 二次函数、的图像与性质 1、 学习目标 1. 会用描点法画二次函数的图像，掌握它的性质. 2.会用描点法画二次函数的图象，掌握它的性质. 3.渗透数形结合思想. 二、知识梳理 5.2.1-5.2.2 二次函数的图像与性质 1.一次函数的图像是一条 直线 ，反比例函数的图像叫做 双曲 线. 2. 在平面直角坐标系中画出一次函数的图像. ①列表： ② ③ 3.形如 的函数叫做二次函数. 4.当= 时，函数为二次函数. 5.某超市1月份的营业额为100万元，2、3月份营业额的月平均增长率为，求第一季度营业额（万元）与的函数关系式是 . 【合作探究】 一、自主探索： 1.画二次函数的图像： ⑴列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … ⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成一条平滑的曲线： 2.观察图像: ⑴这条曲线叫做 抛物 线. ⑵它是 轴 对称图形，有 1 条对称轴，对称轴是 y轴 . ⑶它与对称轴的交点叫做 顶点 ，顶点坐标是（ ），顶点是最 点. 当= 时，y有最 值是 . ⑷该图像开口向 ； 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ； 在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 . ⑸图象与轴有 个交点，交点坐标是（ ）. ⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成一条平滑的曲线： 3.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①② … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … 观察图像指出它们的共同点和不同点： ⑴共同点： . ⑵ 的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 . ⑶ 图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 . ⑷ 的图像与 的图像关于 成 对称. 二、探究归纳： 1.二次函数的图像是一条 抛物线 ，它关于 y轴 对称；顶点坐标是 （ 0,0 ） ， 说明当= 0 时，有最值是 0 . 2.当时，抛物线开口向 上 ，顶点是抛物线的最 低 点. 在对称轴的左侧，即 ＜0 时，随的增大而 减小 ； 在对称轴的右侧，即 ＞0 时，随的增大而 增大 . 3.当时，抛物线开口向 下 ，顶点是抛物线的最 高 点. 在对称轴的左侧，即 ＜0 时，随的增大而 增大 ； 在对称轴的右侧，即 ＞0 时，随的增大而 减小 5.2.3二次函数的图像 1. 根据的图象和性质填表： 函 数 图 像 开口 对称轴 顶 点 增 减 性 a>0 向上 直线 （0,0） 当 ＜0 时，随的 增大而减少. 当时，随的 增大而 增大 . 向下 直线 （0,0） 当 ＞0 时，随的 增大而减少. 当 ＜0 时，随 的增大而 增大 . 2.抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；取任何实数，对应的值总是 数；当 时，抛物线上的点都在 轴的上方. 3.抛物线 的开口向 ；除了它的顶点，抛物线上的点都在 轴的 方， 它的顶点是图象的最 点；取任何实数，对应的值总是 数. 4.点A（-1，-4）在函数的图象上，点A在该图象上的对称点的坐标是 . 【合作探究】 一、自主探索： 1.画出二次函数的图象： 在下列平面直角坐标系中画出关键点，并把这些点连成平滑的曲线； 2.观察左图: ⑴函数与的图象的 形状 相同， 开口方向 相同， 对称轴 相同， 顶点坐标 不同； ⑵函数可以看成的图象向 平移 个单位得到； 它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 . ⑶猜想函数的与性质： 与的图象的 形状 相同， 开口方向 相同， 对称轴 相同， 顶点坐标 不同； 函数可以看成的图象向 平移 个单位长度得到； 它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 . 二、探究归纳： 1.二次函数的图象是一条 抛物线 ，它对称轴是 y轴 ；顶点坐标是 （0,k） ， 说明当= 0 时，有最值是 k . 2.当时，的图象可以看成是的图象向 上 平移 k 个单位得到；当时，的图象可以看成是的图象向 下 平移 -k 个单位得到. 3.当时，抛物线开口向 上 ，顶点是抛物线的最 低 点.在对称轴的左侧，即 ＜0 时，随的增大而 减小 ；在对称轴的右侧，即 ＞0 时，随的增大而 增大 ； 当时，抛物线开口向 下 ，顶点是抛物线的最 高 点.在对称轴的左侧，即 ＜0 时，随的增大而 增大 ；在对称轴的右侧，即 ＞0 时，随的增大而 减小 . 三、典例精讲 例1、已知=是的二次函数. ⑴当取何值时，该二次函数的图像开口向上？ ⑵在上述条件下：①当= 时，= . ②当=8时，= . ③当-2<<3时,求y的取值范围是 . ④当4<<16时,求x的取值范围是 . 例2.画出下列函数的图像： ⑴ ⑵ … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … 例3.二次函数的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 取任何实数，对应的值总是 数. 例4.点A（2，-4）在函数的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 . 例5.二次函数与的图像关于 对称. 例6.若点A（1，）、B（，9）在函数的图像上，则= ，= . 例7.利用函数的图像回答下列问题： ⑴当= 时，= . ⑵当=-8时，= . ⑶当-2<<3时,求y的取值范围是 . ⑷当-4<<-1时,求x的取值范围是 . 例8.观察函数的图像，利用图像解答下列问题： ⑴在轴左侧的图像上任取两点A（x1，y1）、B(x2，y2)，且使0>x1>x2，试比较y1与y2的大小； ⑵在y轴右侧的图像上任取两点C（x3，y3）、D(x4，y4),且使x3>x4>0，试比较y3与y4的大小. 例9.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． 1 求的值； ⑵写出顶点坐标和对称轴． 例11.抛物线y=-x2+3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当x= 时，y取得最 值，这个值等于 . 例12.抛物线y=2x2-1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当x= 时，y取得最 值，这个值等于 . 例13.函数y=4x2+5的可由y=4x2的向 平移 个单位得到；y=4x2-11的可由 y=4x2的向 平移 个单位得到. 四、课堂练习 ⒈抛物线y=ax2与y=2x2形状相同，则a= 。 2.抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当x= 时，y取得最 值，这个值等于 . 3将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象. 4.抛物线y=－x2的顶点坐标为 ；若点（a，-4）在其图象上，则a的值是 ；若点A（3，m）是此抛物线上一点，则m= ． 5.对于的图象下列叙述正确的是 （ ） A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小 C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小 6、已知关于的函数关系式（ 为正常数，为时间）如图，则函数图象为( ) h h h h o o t t o t o t t A B C D 7、已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2，3)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a的值吗？ 8.已知是二次函数. ⑴当时，随的增大而减少，求的值. ⑵若有最大值，求该函数的表达式. 9.已知+3是二次函数，且当时，随的增大而减少．求该函数的表达式. 10、若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？ 11、已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2 12.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（2,-8). (l）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象； (3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $