第02讲 用待定系数法确定二次函数表达式（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

第02讲 用待定系数法确定二次函数表达式 （知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用待定系数法求二次函数的表达式 典例分析 （举三反三） 考点1：用适当的方法求二次函数表达式 考点2：求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 习题巩固 一、单选题（3） 二、填空题（5） 三、解答题（5） 【知识点01】用待定系数法求二次函数的表达式 1. 常见的二次函数表达式的适用条件 (1)一般式y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线上三点的坐标时，设此二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c； (2)顶点式y=a(x＋h)2＋k(a、h、k为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设此二次函数的表达式为y=a(x＋h)2＋k； (3)拓展：交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－x1)·(x－x2). 2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤 (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式，如y=ax2＋bx＋c或y=a(x＋h)2＋k或y=a(x－x1)(x－x2)，其中a ≠ 0； (2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程(组)； (3)解：解此方程(组)，求出待定系数的值； (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式. 【题型一】用适当的方法求二次函数表达式 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线经过点，，，求抛物线的表达式． 【变式1-1】已知抛物线的顶点坐标为，则抛物线对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线经过，两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的表达式． 【题型二】求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 【典例2-1】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【典例2-2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是 ． 【典例2-3】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，把抛物线沿轴翻折所得新抛物线的解析式为 ． 【变式2-2】（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ． 【变式2-3】已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______． 一、单选题 1．（2023九年级下·江苏·专题练习）若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（　　） A．2、6 B．2、8 C．、6 D．、8 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 4．抛物线经过点，则抛物线的函数关系式为 ． 5．将抛物线沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ． 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）写出一个开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点的抛物线解析式 ． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为 ． 8．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，且经过点求出二次函数的解析式． 10.已知抛物线，经过点和． (1)求a、h的值； (2)将该抛物线关于y轴对称，得到新的抛物线，求新的抛物线相应的函数解析式． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为，且图象过点； (2)已知图象经过点、，且对称轴为直线． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据条件求二次函数的解析式． (1)抛物线的顶点坐标是，且经过点 (2)抛物线经过点、， 13.（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． (1)已知抛物线顶点为，且过点； (2)已知抛物线经过点和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 用待定系数法确定二次函数表达式 （知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用待定系数法求二次函数的表达式 典例分析 （举三反三） 考点1：用适当的方法求二次函数表达式 考点2：求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 习题巩固 一、单选题（3） 二、填空题（5） 三、解答题（5） 【知识点01】用待定系数法求二次函数的表达式 1. 常见的二次函数表达式的适用条件 (1)一般式y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线上三点的坐标时，设此二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c； (2)顶点式y=a(x＋h)2＋k(a、h、k为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设此二次函数的表达式为y=a(x＋h)2＋k； (3)拓展：交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为常数，a ≠ 0)，当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)时，可设此二次函数的表达式为y=a(x－x1)·(x－x2). 2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤 (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式，如y=ax2＋bx＋c或y=a(x＋h)2＋k或y=a(x－x1)(x－x2)，其中a ≠ 0； (2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程(组)； (3)解：解此方程(组)，求出待定系数的值； (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式. 【题型一】用适当的方法求二次函数表达式 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为即可得出解析式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∵抛物线顶点为， ∴抛物线解析式为，． 故选：B． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线经过点，，，求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式﹒设抛物线解析式为，即可得到，解方程组即可求解﹒ 【详解】解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为﹒ 【变式1-1】已知抛物线的顶点坐标为，则抛物线对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出抛物线的顶点式，再化为一般式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，涉及抛物线的顶点式和一般式，熟练掌握两种形式的转化是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意设二次函数为，根据题意得出，，取值即可解答． 【详解】解：设二次函数为， ∵对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小， ∴， ∵图像过点， ∴， 取， 则二次函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线经过，两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的表达式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 将已知两点坐标代入抛物线解析式列出方程，利用顶点坐标公式以及顶点纵坐标列出方程，联立求出的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将，代入抛物线解析式得：，， 根据顶点纵坐标为3，得到，即， 联立解得：， 则抛物线解析式为：． 【题型二】求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 【典例2-1】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于y轴对称点的特点． 由函数关于y轴对称点的特点是∶纵坐标不变，横坐标变为相反数，故把原抛物线上的顶点变换后，化简后可得关于y轴对称的抛物线解析式． 【详解】解∶， 抛物线的顶点 与关于轴对称， 顶点坐标是， 抛物线的函数解析式为的，即． 故答案为∶． 【典例2-2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是 ． 【答案】 【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于原点对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答． 【详解】解：从抛物线上找三个点，，． 它们关于原点对称的点是，，． 设新函数的解析式为， 则，解得． 故所求解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于原点对称的点是解决本题的关键． 【典例2-3】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）∵抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）∵点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏·期中）在平面直角坐标系中，把抛物线沿轴翻折所得新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，而关于y轴对称的点的坐标为， 抛物线关于y轴成轴对称的抛物线的解析式是． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ． 【答案】 【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于对称的点是解决本题的关键． 【详解】解：令，，， ，， 令，， ∴二次函数与轴交于，，与轴交于， ∴这三个点关于对称点为，，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴曲线的解析式为． 故答案为：． 【变式2-3】已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______． 【答案】(1)二次函数的表达式为： ； (2)． 【分析】（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定； （2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式． 【详解】（1）解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为， 把代入得， ， ∴， ∴， 即 ； （2）解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同， 设二次函数的表达式为， 在y轴上且在函数图象上， 将其代入函数表达式为：， 解得：， ∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键． 一、单选题 1．（2023九年级下·江苏·专题练习）若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（　　） A．2、6 B．2、8 C．、6 D．、8 【答案】C 【分析】将变形为得出，，求出b、k的值即可． 【详解】解：∵， 又∵二次函数配方后为， ∴，， 解得：，，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，解题的关键是将变形为． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，根据当a取任何实数时，点P都在抛物线上可求解析式为，代入点Q即可得，即可求解． 【详解】解：∵点P都在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴， ∴， 故选B． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．当时，；当时，代入函数解析式整理得，将的值分别代入即可得出结果． 【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得：， ∴a =5 整理得： 若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：C． 二、填空题 4．抛物线经过点，则抛物线的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】用待定系数法即可求解． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，理解并掌握待定系数法是解题的关键． 5．将抛物线沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据翻折的性质得到新抛物线的顶点坐标，即可写出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则沿x轴翻折后顶点坐标是，所以新抛物线解析式是：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，解题的关键是掌握关于x轴对称点的坐标特征． 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）写出一个开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点的抛物线解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，由对称轴为直线，可设函数解析式为；由开口向下可取，再将代入即可求解； 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴可设函数解析式为； ∵开口向下， ∴可取，则； 将代入得：，解得：； ∴； 故答案为：（答案不唯一） 7．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，即可得抛物线解析式． 【详解】由抛物线知，抛物线顶点坐标是． 由抛物线知，． ∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是． ∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键． 8．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数图像经过点，对称轴为直线，抛物线与轴两交点距离为4，求这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由二次函数的对称性可得抛物线与轴的两交点的坐标为，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴两交点距离为4，且以直线为对称轴， ∴抛物线与轴的两交点的坐标为． 设二次函数的表达式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：． ∴二次函数的表达式为，即二次函数的表达式为． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，且经过点求出二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了运算待定系数法求函数解析式，根据题意正确设出解析式是解题的关键．设二次函数的解析式为，将点代入求得值即可解答． 【详解】解：设二次函数的解析式为 ∵抛物线经过点 解得： 二次函数的解析式为． 10.已知抛物线，经过点和． (1)求a、h的值； (2)将该抛物线关于y轴对称，得到新的抛物线，求新的抛物线相应的函数解析式． 【答案】(1) (2)（或）． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称； （1）将点和代入抛物线，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据轴对称的性质，开口方向不变，求得对称后的顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线得： ， 解得：． （2）由（1）得抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． ∴新的抛物线的顶点坐标为， ∴新的抛物线的函数解析式为（或）． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为，且图象过点； (2)已知图象经过点、，且对称轴为直线． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式． （1）已知顶点坐标，使用顶点式求解； （2）已知对称轴和两点，使用一般式并代入条件列方程组求解． 【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为． ∵图象过点， ∴， ， ， ， ． 故二次函数的解析式为； （2）解：设二次函数的解析式为． ∵对称轴为直线， ∴，． ∵图象经过点， ∴代入得：， ． ∵图象经过点， ∴代入得：， ． 将代入， ， ， ． 将和代入， ， ， ， ． 则，． 故二次函数的解析式为． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据条件求二次函数的解析式． (1)抛物线的顶点坐标是，且经过点 (2)抛物线经过点、， 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的关键是熟练掌握各个形式求二次函数的方法； （1）根据题意设出二次函数的顶点式，再代入剩下的一个点即可得到答案； （2）根据题意设出二次函数的交点式，再代入剩下的一个点即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意设抛物线的解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 13.（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． (1)已知抛物线顶点为，且过点； (2)已知抛物线经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数的解析式，根据所给条件求出对应的函数表达式是正确解答此题的关键． （1）设为顶点式，代入所给点的坐标即可求解； （2）直接代入题中两点坐标，建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由抛物线顶点为，得， 由抛物线过点，得， 解得， ； （2）解：将点和代入抛物线， 得， 解得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $