专题15 角（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题15 角 目录 2 类型一、钟面角 2 类型二、角中的设元思想--根据角的比关系设元 2 类型三、角中的设元思想--根据角的倍分关系设元 2 类型四、角中的设元思想--根据角的和差关系设元 2 类型五、角中的分类讨论思想--单条待定射线的分类讨论问题 3 类型六、角中的分类讨论思想--多条待定射线的分类讨论问题 3 类型七、双角平分线模型--双角平分线模型直接运用 3 类型八、双角平分线模型--双角平分线模型与分类讨论综合 3 类型九、角中的动态问题--单条射线的旋转探究 4 类型十、角中的动态问题--多条射线的旋转探究 4 4 类型一、钟面角 钟表中共有12大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角.解决此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确把握时针、分针的旋转规律： 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为，1分钟转过的角度为 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 利用这些规律，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 1．（2025七年级上·安徽·专题练习）小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，分别计算各选项中时针和分针的位置角度，判断是否满足直角条件即可． 【详解】解：选项A（9时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 选项B（12时）： 时针和分针均指向12，角度差为，不满足直角条件． 选项C（15时）： 此时角度为，，满足直角条件． 选项D（3时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 综上，只有选项C（15时）满足时针和分针成直角． 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻为3时 分． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了钟面角的认识，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握钟面上时针和分针每分钟转过的角度．设从3点整到现在过了x分，根据时针和分针离“3”的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设从3点整到现在过了x分，根据题意得： ， 解得：， 即即现在3时分． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键． 用分针转动的角度：减去时针与分针所成角度为，时针转动的角度：，即即可求解． 【详解】解：寅时二刻是指， ∵时，时针与分针所成角度为， 再过15分钟，分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ∴， 故答案为：． 4．（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时时针与分针所夹的角是 ___________度． (2)点分时针与分针所夹的角是 ___________度． (3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，钟面角，熟练掌握钟面角的运算是解题的关键； （1）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示； （2）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示，分针每分走度，时针每分走度，计算求解即可； （3）时针与分针垂直时，夹角为，先得到经过多少分就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：从重合到第一次垂直所需要的时间为， 设一次垂直到下一次垂直经过分钟，则 ， （次 取整为次． 故总次数为（次 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为次． 5．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点表示，表盘与线段交于点、，为表盘圆心． (1)若为，，是中点，则手表全长______． (2)表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①______度； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】(1) (2)①；②在内部时，，在外部时 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过得角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走的路程为， ， 故答案为：； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于的角） (1)分针每分钟转_________度，时针每分钟转_________度，当时间为时，分针和时针的夹角为_________度； (2)求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针； (3)点A为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，t分钟后（），，求t的值． 【答案】(1)6，0.5，75 (2)分钟后分针第一次追上时针 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． （1）根据圆周是，分别计算时针和分针的转速即可，再根据时时针和分针夹角是个大格计算夹角度数即可； （2）设x分钟后分针第一次追上时针，根据题意列方程求解即可； （3）根据题意分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：分针每分钟转，时针每分钟转， ∵时时针和分针夹角是2.5个大格， ∴时，分针和时针的夹角为， 故答案为：6，0.5，75； （2）解：设x分钟后分针第一次追上时针， 由题意得，， 解得， ∴分钟后分针第一次追上时针； （3）解：①没追上之前，由题意知， ， 解得， ②超过之后，由题意知， ， 解得， ∴分钟或分钟后（），． 类型二、角中的设元思想--根据角的比关系设元 在求角的度数时，若不能直接通过和、差、倍、分求得，则可把角的度数设为未知数，并根据所求角与其他角之间的关系列方程求解.方程能清楚、简洁地表示出几何图形中的数量关系，是解决几何计算问题的一种重要方法. 7．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线、交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角、对顶角的性质，先根据平角的定义得，再根据得，再根据对顶角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 8．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：． 9．（20-21七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可． 【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角， 当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°， ∵平分， ∴=x°， ∵∠COD=180°， ∴x+x+90+ x=180， 解得，x=45； ∠COF=2∠AOC=45°； 当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°， 同理， =2x°， 2x+2x+90+ x=180， 解得：x=18， ∠COF=2∠AOC=72°； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论． 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，点，，在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据与互余可得，从而得出，再根据角平分线的定义即可求解． （2）设，则，，，再根据与互余可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 11．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 【点睛】 12．（22-23七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 13．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，点、、在同一条直线上，与互余，是的平分线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________°． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，余角的定义，灵活运用相关知识表示出角的和差是解题的关键． （1）根据，结合余角的定义和平角的定义即可解答； （2）根据余角的定义求出，根据平角的定义求出，再利用角平分线的定义求出； （3）依题意设，，根据余角的定义和角平分线的定义表示出和，再根据平角定义列方程求解． 【详解】（1）解：与互余， ， ，点、、在同一条直线上， ； （2）解：，， ， ， 是的平分线， ； （3）解：依题意设，， ， 与互余， ， 是的平分线， , ， ， 解得， 类型三、角中的设元思想--根据角的倍分关系设元 14．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题的关键．设，则，得到，则，解得，再利用为的角平分线，求得，即可求出的度数． 【详解】设， ， ， 由题意可知，， ， ， 解得， ， 为的角平分线， ， ． 故选：． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，平分， (1)当，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键： （1）设，根据角平分线的定义得出，进而求出x的值，即可得出答案； （2）设，根据角平分线的定义得出，进而求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为：； （2）∵，平分， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为：． 16．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）（1）已知：如图1：，点是的中点，，若，设多项式的值是，其中．求线段的长． （2）如图2，、为内两条射线，，，，求的度数． 【答案】（1）12（2） 【分析】本题主要考查线段和角的和差倍分关系，涉及中点、整式的化简求值以及一元一次方程的应用． （1）设，则，结合，点是的中点，得出，再化简多项式并求值可得，得出，从而根据线段的和差得出答案． （2）设，则，，，然后根据题意列出关于x的一元一次方程，解出x，进而根据角得和差关系即可求出答案． 【详解】解：（1）， 设，则． ， ，点是的中点， ，，． ． ， 当时， ， ， ， ； （2）， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：， ． 17．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图①，，求的度数． (2)如图②，请通过你所学习的相关知识来说明． (3)如图③，若点、在直线同侧，且点靠近点，请求出与之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键。 （1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答； （2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答； （3）由题意可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到、然后比较即可解答． 【详解】（1）解：由图①可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）解：由图②知： ∵平分， ∴， 设，所以， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴； （3）解：由图③知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与之间的数量关系是：. 18．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴ 把代入得：， 解得． 类型四、角中的设元思想--根据角的和差关系设元 19．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，射线，在的内部，若满足，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和，差计算，设，分别是已知条件，化简计算即可． 【详解】设， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 20．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 21．（20-21七年级上·湖南永州·期末）已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了角三等分线定义，求一个角度的余角、补角，数形结合是解题的关键； （1）根据得出，进而根据得出，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）同（1）的方法求解； （3）①同（1）的方法求解； ②设，，由①可得：，，，进而可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 由①可得：，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 即． 22．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，请判断和的数量关系，说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线、，满足，且平分．当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差倍分运算，结合已知条件，熟练应用角平分线定义得到关于角的关系是本题解题的关键． （1）利用角平分线定义及角的和差进行计算即可； （2）设，则，然后利用角的和差及已知条件求得，继而得出答案； （3）利用已知条件及角的和差易得，再根据角平分线的性质及（）中所求可得，继而可得，再利用角的和差并结合已知条件列得关于的方程，解得的值，从而可得，的度数，最后利用角的和差计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ． （2），理由如下： 设，则， ， ， ，， ， ， ； （3），， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ． 类型五、角中的分类讨论思想--单条待定射线的分类讨论问题 若题目中没有给出具体的图形，则应考虑多解，要根据已知条件画出所有符合条件的图形，进而分类讨论求解. 23．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）已知，射线平分，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 先分两种情况画出图形，再分别运用角的和差求得，然后根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：如图：， ∴, ∵射线平分， ∴； 如图：， ∴, ∵射线平分， ∴． 综上， 或． 故答案为：或． 24．（21-22七年级上·河南洛阳·期末）已知，过O作射线，使，若射线是的平分线，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，与角平分线有关的计算，分两种情况：当与在的同侧时；当与在的异侧时；分别根据角平分线的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当与在的同侧时， ， ∵，， ∴， ∵射线是的平分线， ∴； 如图，当与在的异侧时， ， ∵，， ∴， ∵射线是的平分线， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 25．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知与互余，且．若，请补全图形，求的度数． 【答案】补图见解析，或 【分析】本题考查了余角的定义，角的和差，能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 当在的外部和当在的内部两种情况，根据余角的定义，角的和差，进行作答即可． 【详解】解：当在的外部时，如图所示： 解：因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得 ． 因为， 所以 ． 当在的内部时，如图所示： 如图，因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得 ． 因为， 所以， 综上所述：得度数为或． 类型六、角中的分类讨论思想--多条待定射线的分类讨论问题 26．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）在同一平面内，点O在直线AD上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用角平分线求角度，几何图形中的角度计算，补角的定义，由题意，得到，然后进行分类讨论：①当点B、O、C三点共线时；②当点B、O、C三点不共线时，；③当点B、O、C三点不共线时，；结合角平分线的定义，即可求出答案．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图形，运用分类讨论的思想进行分析． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵，分别为，的平分线， ①当点B、O、C三点共线时， 则； ∵， ∴点B、O、C三点共线时，不符合题意； ②当点B、O、C三点不共线时，，如下图： 则， ∵， ∴； ③当点B、O、C三点不共线时，，如下如： 则， ∵， ∴； 综上所述，； 故选：D． 27．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）已知一条射线，若从点O再引两条射线，使，，那么的度数是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】画出符合的两种情况，根据和的度数求出即可． 【详解】解：分为两种情况：①如图1， ， ②如图2， ， 所以，的度数是或 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角的计算，关键是注意此题分两种情况． 28．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别讨论即可求解 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即或． 故答案为：或． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 30．（22-23七年级下·安徽合肥·开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再设，用含的代数式表示出和，根据题意列出方程可得答案． 【详解】解：当在外部时，   射线平分，射找平分， ，， ， 射线平分， ， 设，则，， ， 解得， ∴； 当在内部时，   射线平分，射找平分， ，， ， 射线平分， ， 设，则，， ，解得：，不合题意； 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分类讨论． 类型七、双角平分线模型--双角平分线模型直接运用 31．（22-23七年级上·安徽六安·期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)． 【答案】 120 【分析】①利用角平分线的定义可得，，易得，利用，可得结果； ②由角的加减可得，可得，再利用可得结果 【详解】解：①，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为120； ②，， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题的关键． 32．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 33．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用，含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴∵， ∴． 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 【答案】 45 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）设，根据角的和差关系以及角平分线的定义，推出，，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）设， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 类型八、双角平分线模型--双角平分线模型与分类讨论综合 35．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线定义以及分类讨论的思想，解题关键是运用分类讨论的思想． 分两种情况讨论：在的外部时，在的内部时，分别根据角的和差以及角平分线定义进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论：在的外部时， ，ON分别平分，， ，， ； 在的内部时，此时B与N重合， ，ON分别平分、， ，， ； 因此的度数为或． 故选D． 36．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）已知，．若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确利用分类讨论得出答案是解答本题的关键． 根据题意画出图形，分两种情况：当落在的内部时；当落在的外部时；利用角的和差关系计算即可解答． 【详解】解：如图，当落在的内部时： 平分， ， 平分， ， ； 如图，当落在的外部时： 平分， 平分， ，， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 类型九、角中的动态问题--单条射线的旋转探究 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】 102 20或50/50或20 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的数量关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．①由题意可知，旋转8秒时，，从而求出，即可求出的度数；②分两种情况讨论：当的延长线平分角时；当的延长线平分角时，利用角度的和差关系分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旋转8秒时，， , ， ； 若第秒时，所在直线恰好平分， ①如图，当平分角时， ， ， ， ， ， ； ②如图，当的延长线平分角时， ， ， ， , ， ， ； 综上可知，第秒或秒时，所在直线恰好平分， 故答案为：102；20或50． 38．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）①当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”；②当t为或4或6时，射线是的“巧分线” 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）解：∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时的值为或或． 39．（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 40．（23-24七年级上·安徽·期末）李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系； （1）根据邻补角的定义即可求解； （2）分两种情况，分别讨论，结合角与角之间的关系即可求解； 【详解】（1）解：，， ； （2）解： 如上图，此时， ， ∴， ； 如图，此时， ， ， ， ， ， 故为或． 41．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 类型十、角中的动态问题--多条射线的旋转探究 42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知如图1，，射线与重合，射线与重合，现在射线以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕着点O逆时针旋转，当射线与重合时，与同时停止旋转．回答以下问题： (1)如图2，经过10秒后，求的度数； (2)如图3，经过几秒后，射线是的角平分线； (3)经过几秒后，． 【答案】(1) (2)24 (3)30或50 【分析】本题考查角度计算 （1）根据题意先计算与共计转的度数，再用去减即可； （2）根据题意设经过秒后，射线是的角平分线，列式解出即可； （3）根据题意设经过秒后，，分情况讨论射线所处位置列式即可． 【详解】（1）解：∵射线以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕着点O逆时针旋转， ∴经过10秒后，，， ∵， ∴； （2）解：设经过秒后，射线是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， 若射线是的角平分线，则，即：，解得：； （3）解：设经过秒后，， 分两种情况讨论： ①当在上方时， ∴，， ∵， ∴，解得：， ②当在下方时， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得：， 43．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】若，，且，则称、互为“半余角”．已知，如图，O为直线上一点，，． (1)图中的“半余角”有哪几对？ (2)若射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当时，请判断与是否互为“半余角”，并说明理由； ②若射线同时绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与互为“半余角”时，直接写出t的值． 【答案】(1)三对，和，和，和 (2)①是，理由见解析；②2或18 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据半余角定义进行求解即可； （2）①先求出，，再根据半余角定义判断即可； ②分两种情况：当与在的上方时，当与在的下方时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：三对：和，和，和． ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ， 和互为“半余角”，和互为“半余角”，和互为“半余角”； （2）解：是 ；理由如下： 当时，， ∴， ， 和是互为“半余角”； 当与在的上方时， 由题意可知：， ， ∴， 解得：，舍去， 当与在的下方时， 由题意可知：， ， ， 解得：，舍去， 综上所述的值为或． 44．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 45．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，． (1)若，则______________； (2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②的值为或或 【分析】（1）分两种情况：在内部或在外部，再根据题意求解即可； （2）①分两种情况：在内或在内，画出图形，分别表示出和，再根据关系式找出数量关系即可； ②动角问题，由运动时间可分三种情况，利用角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当在外部， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）∵为外部的一条射线，，， ∴， ①分两种情况： 第一种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴， 即； 综上所述，和之间的数量关系为或； ②∵，， 又∵射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止，旋转时间为秒， ∴，，， 第一次平分：如图， ∵，， 又∵平分， ∴， ∴， 解得：； 第二次平分：如图， ∵，， ∴， ∵所在直线平分， ∴平分， ∴， ∴， 解得：； 第三次平分：如图， ∵，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的定义，动角问题，一元一次方程的实际应用等内容，利用分类的讨论的思想解决问题是解题的关键． 46．（24-25七年级上·山西大同·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为，理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2）的度数不发生变化，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 47．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查的是角的和差运算及角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）设，，求解，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得，，，表示，求解，可得 ，结合角平分线再进一步求解即可； （3）由（1）得，，，可得 ；表示，表示，，结合平分，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由（1）得，，， ∵， ∴ ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴． 48．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）点为直线上一点，作射线，一个直角三角板的直角顶点与点重合． (1)如图1，点在射线上，，求的大小； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，使得平分，试说明平分； (3)若（大于0而小于90），则再将直角三角板绕点逆时针转动，当时，直接写出的大小（用的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由，，再利用角的和差运算可得答案； （2）先证明，，，再进一步可得结论； （3）分三种情况讨论：如图，时，题意可得：，，，当时，题意可得：，，，如图，当在的下方时，题意可得：，，，再结合，建立方程求解，并检验即可. 【详解】（1）解：∵点在射线上，，， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分； （3）解：如图，时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即； 当时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即； 如图，当在的下方时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 综上：或. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义，一元一次方程的应用，本题难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 49．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则_______． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则_______； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 【答案】（1）①16；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②不变，理由如下： ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 50．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 角 目录 1 类型一、钟面角 1 类型二、角中的设元思想--根据角的比关系设元 3 类型三、角中的设元思想--根据角的倍分关系设元 5 类型四、角中的设元思想--根据角的和差关系设元 7 类型五、角中的分类讨论思想--单条待定射线的分类讨论问题 9 类型六、角中的分类讨论思想--多条待定射线的分类讨论问题 9 类型七、双角平分线模型--双角平分线模型直接运用 11 类型八、双角平分线模型--双角平分线模型与分类讨论综合 12 类型九、角中的动态问题--单条射线的旋转探究 12 类型十、角中的动态问题--多条射线的旋转探究 15 16 类型一、钟面角 钟表中共有12大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角.解决此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确把握时针、分针的旋转规律： 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为，1分钟转过的角度为 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 利用这些规律，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 1．（2025七年级上·安徽·专题练习）小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 2．（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻为3时 分． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 4．（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时时针与分针所夹的角是 ___________度． (2)点分时针与分针所夹的角是 ___________度． (3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？ 5．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点表示，表盘与线段交于点、，为表盘圆心． (1)若为，，是中点，则手表全长______． (2)表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①______度； ②作射线，使，求此时的度数． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于的角） (1)分针每分钟转_________度，时针每分钟转_________度，当时间为时，分针和时针的夹角为_________度； (2)求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针； (3)点A为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，t分钟后（），，求t的值． 类型二、角中的设元思想--根据角的比关系设元 在求角的度数时，若不能直接通过和、差、倍、分求得，则可把角的度数设为未知数，并根据所求角与其他角之间的关系列方程求解.方程能清楚、简洁地表示出几何图形中的数量关系，是解决几何计算问题的一种重要方法. 7．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线、交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 9．（20-21七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，点，，在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 11．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 12．（22-23七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 13．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，点、、在同一条直线上，与互余，是的平分线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________°． 类型三、角中的设元思想--根据角的倍分关系设元 14．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，平分， (1)当，求的度数； (2)若，求的度数． 16．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）（1）已知：如图1：，点是的中点，，若，设多项式的值是，其中．求线段的长． （2）如图2，、为内两条射线，，，，求的度数． 17．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图①，，求的度数． (2)如图②，请通过你所学习的相关知识来说明． (3)如图③，若点、在直线同侧，且点靠近点，请求出与之间有怎样的数量关系． 18．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 类型四、角中的设元思想--根据角的和差关系设元 19．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，射线，在的内部，若满足，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 21．（20-21七年级上·湖南永州·期末）已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 22．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，请判断和的数量关系，说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线、，满足，且平分．当时，求的度数． 类型五、角中的分类讨论思想--单条待定射线的分类讨论问题 若题目中没有给出具体的图形，则应考虑多解，要根据已知条件画出所有符合条件的图形，进而分类讨论求解. 23．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）已知，射线平分，则 ． 24．（21-22七年级上·河南洛阳·期末）已知，过O作射线，使，若射线是的平分线，则的度数是 ． 25．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知与互余，且．若，请补全图形，求的度数． 类型六、角中的分类讨论思想--多条待定射线的分类讨论问题 26．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）在同一平面内，点O在直线AD上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 27．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）已知一条射线，若从点O再引两条射线，使，，那么的度数是（　　） A． B． C．或 D． 28．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 30．（22-23七年级下·安徽合肥·开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 类型七、双角平分线模型--双角平分线模型直接运用 31．（22-23七年级上·安徽六安·期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)． 32．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 33．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用，含的式子表示） 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 类型八、双角平分线模型--双角平分线模型与分类讨论综合 35．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 36．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）已知，．若平分，平分，则的度数为 ． 类型九、角中的动态问题--单条射线的旋转探究 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 37．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：（1）当旋转8秒时，则的度数 ；（2）第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 38．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 39．（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 40．（23-24七年级上·安徽·期末）李明在“玩转三角尺”活动课上，将一把三角尺的直角顶点放在直线上的点处，如图1所示．（注：） (1)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转一定角度至图2位置时，若，则______． (2)将图1中的三角尺绕点逆时针旋转，在旋转过程中，当时，求此时的度数．（提示：分情况讨论） 41．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 类型十、角中的动态问题--多条射线的旋转探究 42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知如图1，，射线与重合，射线与重合，现在射线以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕着点O逆时针旋转，当射线与重合时，与同时停止旋转．回答以下问题： (1)如图2，经过10秒后，求的度数； (2)如图3，经过几秒后，射线是的角平分线； (3)经过几秒后，． 43．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】若，，且，则称、互为“半余角”．已知，如图，O为直线上一点，，． (1)图中的“半余角”有哪几对？ (2)若射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当时，请判断与是否互为“半余角”，并说明理由； ②若射线同时绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与互为“半余角”时，直接写出t的值． 44．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 45．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，． (1)若，则______________； (2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 46．（24-25七年级上·山西大同·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 47．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 48．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）点为直线上一点，作射线，一个直角三角板的直角顶点与点重合． (1)如图1，点在射线上，，求的大小； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，使得平分，试说明平分； (3)若（大于0而小于90），则再将直角三角板绕点逆时针转动，当时，直接写出的大小（用的代数式表示） 49．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则_______． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则_______； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 50．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $