精品解析：北京市昌平区第二中学教育集团2025～2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期昌平二中教育集团 期中考试试卷 初二数学 2025.10 一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，只有一个是符合题意的． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若表示一个整数，则整数x可取的值的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知杠杆平衡条件公式，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是( ) A. B. C. D. 7. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 10. 若分式的值为，则的值为___________. 11. 144的平方根为_______． 12. 计算：______． 13. 如图，直线，则_______度． 14. 比大小：__________． 15. 中，若，则_________． 16. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简________． 三、解答题（17-22小题，每小题5分；23-26小题，每小题6分；27-28小题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 计算： 19. 计算： ． 20. 计算： 21. 计算． 22. 解方程：. 23. 已知，求代数式的值. 24. 已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值． 25. 京西山峦，首都的生态屏障，我区坚持生态优先，绿色发展的理念，持续拓展绿色生态空间.某公园为了拓展绿色生态空间，特安排了甲、乙两个工程对进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米？ 26. 已知a，b，c是的三边． （1）化简； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 27. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： （1） ， 为正整数） （2）若，则 （3）求的值. 28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期昌平二中教育集团 期中考试试卷 初二数学 2025.10 一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，只有一个是符合题意的． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零． 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：B． 3. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故选：C． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的化简步骤和同底数幂相除的法则，将每一个式子进行化简即可. 【详解】A.,正确； B.，错误； C.,错误； D.,错误. 故答案选A 【点睛】本题考查了分式的化简和同底数幂的除法，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则. 5. 若表示一个整数，则整数x可取的值的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由表示一个整数且为整数，则或，进而求出的值． 【详解】解：表示一个整数且是整数， 或． 当，则或2． 当，则或． 综上，整数的取值有、0、2、3，共4个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 6. 已知杠杆平衡条件公式，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质改写即可. 【详解】∵ ∴F1L1=F2L2， ∴ . 故选C. 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）. 7. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，能组成三角形，符合题意； D． ，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以． 8. 数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8 故答案为x≥8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键. 10. 若分式的值为，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0， 解得x＝−2． 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 11. 144的平方根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个正数的平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，据此即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴144的平方根为﹒ 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是整式的乘法，根据计算法则进行约分计算即可 【详解】 【点睛】此题重点考查学生对整式乘法的应用，约分是解本题的关键 13. 如图，直线，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 比大小：__________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 15. 中，若，则_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解． 根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解． 【详解】在中，， 又已知， 将代入到中， 可得， 即， 解得， 故答案为：． 16. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果． 【详解】解：由数轴可知：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 三、解答题（17-22小题，每小题5分；23-26小题，每小题6分；27-28小题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的除法进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简，立方根，绝对值，0指数幂，二次根式的加减等知识，先根据二次根式性质，立方根，绝对值，0指数幂进行化简，再进行计算即可求解﹒ 【详解】解：原式=﹒ 19. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】先寻找2个分式分母的最小公倍式(最小公倍是用因式分解的方法去寻找)，将最小公倍式作为结果的分母；然后在进行减法计算最后进行化简 【详解】解：原式= = = = = . 【点睛】本题是对分式计算的考察，正确化简是关键 20. 计算： 【答案】当 时，；当 时，． 【解析】 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴同号，且， ， ， ， ， ； ∴当 时，原式；当 时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及乘除运算．熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键． 21. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】 = = =． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握和灵活运用二次根式的乘除法运算法则． 22. 解方程：. 【答案】原方程无解. 【解析】 【分析】把分式方程去分母变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】， 方程两边同时乘以，得 ∴ ∴ ， ， 检验：当时，，原方程中的分式无意义. ∴原方程无解. 【点睛】本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是能把分式方程转化成整式方程，题目比较好，难度适中． 23. 已知，求代数式的值. 【答案】4. 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24. 已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值． 【答案】16． 【解析】 【分析】根据平方差公式可得x2-y2=（x+y）（x-y），再把x=+2，y=-2代入，分别求出x+y，x-y，然后相乘即可． 【详解】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）． ∵x=+2，y=﹣2， ∴x+y=（+2）+（﹣2）=2， x﹣y=（+2）﹣（﹣2）=4， ∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×4=8=16． 【点睛】根据考查了二次根式的化简求值，平方差公式，掌握公式与运算法则是解题的关键． 25. 京西山峦，首都的生态屏障，我区坚持生态优先，绿色发展的理念，持续拓展绿色生态空间.某公园为了拓展绿色生态空间，特安排了甲、乙两个工程对进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米？ 【答案】乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米. 【解析】 【分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x平方米，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲工程队比乙工程队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论． 【详解】设乙工程队每天能完成的绿化面积是平方米，那么甲工程队每天能完成的绿化面积是平方米， 根据题意得： 解得： 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义； 当时， 答：乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米，甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式是解题的关键． 26. 已知a，b，c是的三边． （1）化简； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2）11或13 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 【小问1详解】 ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴； 【小问2详解】 解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为偶数， ∴或6， ∴这个三角形的周长为或． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 27. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： （1） ， 为正整数） （2）若，则 （3）求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键. 28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④ （2）， （3）化简：， 【解析】 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【小问1详解】 解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $