2.4 圆与圆的位置关系 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程-2.4 圆与圆的位置关系 能力提升训练 1.（2025江西南昌期末）已知圆和圆，其中 ， 则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是( ) A. B. C. D. 2.（2025山东枣庄八中月考）已知圆 与圆交于,两点，则四边形 的面积为( ) A.12 B.6 C.24 D. 3.（2025郑州七中期中）已知点为圆 上一动点，若直线上存在两点，，满足，且 ，则 的最小值为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.（2025湖北省新八校协作体联考）已知圆 ，圆，，分别是圆，上的动点，为 轴上的动点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 5.（多选）已知圆与圆 有四条公切线， 则实数 的取值可能是( ) A. B.1 C. D.3 6.（多选|2025浙江杭州二中期中）已知圆 ，圆 ，则( ) A. B.圆与圆的公共弦所在直线方程为 C.圆与圆 相离 D.圆与圆 的公切线有2条 7.（2025江西九江期中开学检测）已知圆 与圆相交于，两点，点的坐标为.若圆经过，， 三点，则圆 的方程为____________________________________________________. 8.（2025郑州一中月考）已知点，若圆上存在点 满足（点为坐标原点），则 的取值范围为______. 9.已知圆，圆是以圆 上任意一点为圆心，半径 为1的圆.圆与圆交于,两点，则当最大时， ___. 10. （2025江苏锡山高级中学期中）“晚旁”徽标是借两 个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）.已知圆 ， ，其中, 为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为 的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为_ ____.（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1） 11.（17分）［大招 （2025山东济南历城二中调研）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆 与圆 （1） 求圆与圆的根轴 ； （2） 已知点为根轴上的一动点，过点作圆的切线,，切点分别为， ，当 最小时，求直线 的方程； （3） 给出定点，设，分别为根轴和圆上的动点，求 的最小值 及此时点 的坐标. 参考答案 1.C【解析】 由且半径,且半径,结合 ,得 时,两圆相交,则,由选项可得A选项为 的充要条件； B,D选项为的必要不充分条件；C选项为 的充分不必要条件. 2.A【解析】 如图，连接，，两圆方程相减得直线 的方程为 ，利用勾股定理可得， ，又， ，所以 . 3.C【解析】 由点,在直线上，且，设线段 的中点 由 ，得点在圆上（挖掘隐圆：点 在以 为直径的圆上）， 圆的圆心，半径为，而点在圆 上， 即圆与圆有公共点，则，解得 ， 而，当且仅当 时取等号， 因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆 外切时取 等号，所以 的最小值为2. 4.A【解析】 圆，圆心为，半径 ， 圆，圆心为，半径为 ，如图， 圆关于轴的对称圆为圆 ， 连接，交轴于，交圆于，连接，交圆于 ，此时 最小， 最小值为 . 5.ACD【解析】 由圆和的方程可知,圆的圆心,半径,圆 的圆心 ,半径 .因为两圆有四条公切线,所以两圆外离,两圆圆心距 ,则,解得或,所以结合选项可知实数 的取值可以是, ,3,不能是1. 6.ABD【解析】 由题,得,,故 ； 将两圆方程与 相减，得公共弦所在直线方 程为 ； 两圆半径,, ,故两圆相交,两圆 的公切线有2条. 7.（也可以写成） 【解析】 根据题意,可设圆.将 代 入，得,解得,所以所求圆 的方程为 ,即 . 8. 【解析】 设,因为点满足 （阿氏圆）,所以 ,整理,得,所以点 在圆 上.因为点也在圆 上,所以圆 与圆 有公共点.因为圆 的圆心为,半径为,圆 的圆心 为,半径,连接,所以,解得,所以 的取 值范围为 . 9.2 【解析】 根据给定条件,结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件,再借助直角三角形求解. 依题意,连接,在中, ,如图1, 显然,是锐角,.又函数在 上单调递 增,因此当且仅当公共弦最长时,最大（大边对大角）,此时弦为圆 的直径.如 图2，连接，在中, ,,所以 . 10. 【解析】 易知圆,圆心为 ， 半径 ； 圆，圆心为 ，半径 . 两圆方程相减即可得公共弦 所在直线方程为 ， 由弦将圆分为长度之比为的两段弧可知 ， 因此圆心到直线的距离为 ， 即，又，解得或 （舍去），即 ， 此时在弦所在直线 上，所 以为圆 的直径， 易知， ， 所以截得的圆的弧长为 ，截得的圆 的弧长为 ， 此时组成“晚旁”的两段弧长之比为 . 11.(1)【答案】由题知圆的圆心为，半径为；圆的圆心为 ，半径 为 . 设点为圆与圆的根轴 上的任意一点， 则由题可得，即 ， 整理得，即圆与圆的根轴为直线 .（4分） (2)【答案】 连接,，如图1，由题意可知 且 ，, ， 则 ， 又 ， 所以 ， 所以取得最小值时即为 取得最小值时.（6分） 又，所以取得最小值时亦即 取得最小值，（7分） 而取得最小值时，，且该最小值为圆心到根轴 的距离 ， 此时,即 ， 联立得故此时 ，（9分） 所以此时中点坐标为 ， 所以以线段为直径的圆的方程为 ， 即 ，（10分） 则是圆与圆的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程，为 ， 即 .（11分） (3)【答案】 设关于根轴对称的点为 ， 则故 ，（12分） 连接,, ,如图2， 则由三角形两边之和大于第三边可得 ，（13分） 连接，则此时分别与圆和根轴相交的点和使得 最小，为 ，（14分） 且可得，即 ， 联立得即此时 ，（16分） 所以的最小值为，此时 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $