2.3 直线与圆的位置关系 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程-2.3 直线与圆的位置关系 能力提升训练 1.若直线与圆相交于点,，则 ( ) A.1 B. C. D. 2.（2025河北石家庄检测）已知点为直线 上的动点，若在圆上存在两点，，使得 ，则点 的横坐标的取值范围为( ) A. B. C. D. 3（2025江西检测）已知，点 ，点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 4.（2025浙江金华检测）已知,满足 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知，点,，从点观察点 ，要使视线不 被挡住，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.（多选|2025湖北孝感开学考试）已知圆 ， 直线，点在圆上，点在直线 上，则下列结论正确的是( ) A.直线与圆 相离 B.若点到直线的距离为4，则点 有2个 C. 的最小值是2 D.从点向圆 引切线，切线长的最小值是2 7.（多选|2025福建厦门期末）已知直线，圆 ，则下列说法正确的是( ) A.圆上恰有1个点到直线的距离为1，则 B.圆上恰有2个点到直线的距离为1，则 C.圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D.圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 8. （2025江西抚州东乡区实验中学月考）直线与曲线 恰有1个公共点，则实数 的取值范围是_____________________. 9. （2025山西临汾期中）瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心三点共线.后人把这条直线称为三角形的“欧拉线”.已知等腰三角形的三个顶点是， ，，且其“欧拉线”与圆相交于，两点，则 的 “欧拉线”方程为_________________，弦长 _____. 10. （2025江西宜春期末）已知实数,,,满足 , ，，则 的最大值为_______. 11.如图，已知点，圆与轴的负半轴的交点是 ， 过点的直线与圆交于不同的两点,，交轴于点 . （1） 若，求直线 的方程； （2） 设的中点为，若，求 的面积. 12.［大招15］（2025安徽滁州检测）如图，已知直线 和圆 ，过直线上的一点 作两条直线，与圆相切于， 两点. （1） 当点的坐标为时，求以 为直径的圆的方程，并求直线 的方程； （2） 设切线与的斜率分别为，，当时，求点 的坐标. 参考答案 1.D【解析】 直线与圆相交于点,,则圆心 到 直线的距离为 ,所以 2.C【解析】 圆的圆心为,半径.连接,当, 与圆 相切且 时,,以点 为圆心,2为半径的圆的标准方程为 .由消去并化简，得 ,解得 或,所以点的横坐标的取值范围是 . 3.D【解析】 求出， 两点的轨迹方程，将圆上的点到线段上的点的距离的最小值转化为圆心到直线的距离，注意考虑垂足是否落在线段上. 设，则消去得 ， 因为，所以 ， 所以点在线段 上运动， 设，则 由得 ， 所以点在圆上运动，圆心为 ，半径为 . 过点且垂直于的直线为 ， 设与交于点 ， 联立解得所以 ， 因为在线段 上， 所以圆心到线段 上的点的距离的最 小值即为圆心 到直线 的距离 ， 所以的最小值为 . 4.B【解析】 可化为,表示的是以 为圆心,为半径的圆,令,则可以看作直线在 轴上的截距,当直线与圆相切时,纵截距 取得最大值或最小值, 此时,解得或,所以 .又因为不等式 恒成立,所以,则的取值范围是 . 5.B【解析】 易知点在直线上,如图，过点 作圆的切线,设切线的斜率 为,则切线方程为,即.由圆心到切线的距离 ,得 ,所以切线方程为 （圆的切线是视线恰好被挡住的临界情况）,两 切线和直线的交点坐标分别为,,故要使视线不被挡住,实数 的取值范围是 . 6.AB【解析】 圆,圆心,半径,圆心到直线 的距离,故直线与圆 相离； 易知点到直线的最大距离为9，最小距离为1，的最小值是 ,没 有最大值，点到直线的距离为4时,点有2个（ ） 如图，设点向圆引切线,为切点，连接, , ,最小时,即最小, 的最小值为圆心到直线的距离,此时 . 7.ACD【解析】 圆的圆心为 ,半径为2. 圆上恰有1个点到直线的距离为1,则圆心到直线的距离为3（ ）, 即,解得 ； 圆上恰有2个点到直线的距离为1,则圆心到直线 的距离大于1,小于3 （）,即,解得 ； 圆上恰有3个点到直线的距离为1,则圆心到直线的距离等于1（ ）, 即,解得 ； 圆上恰有4个点到直线的距离为1,则圆心到直线的距离小于1（ ）, 即,解得 . 8.或 【解析】 画出直线与曲线 ，数形结合可得答案. 曲线，整理得,，画出直线 与曲线 ，如图， 当直线与曲线 相切时， 圆心到直线的距离为，可得 （正根舍去）， 当直线过,时， ，（易忽略端点处的情况） 若直线与曲线恰有1个公共点，则或 . 9. 【解析】 由于,,所以 为等腰三角形, 的中点为, , 所以边上的垂直平分线方程为 ,即 . 由于等腰三角形中,边上的垂直平分线、高线、中线共线,即 经 过其重心、外心以及垂心,故欧拉线方程为.圆心 到直线 的距离为,又圆的半径 ,所以弦长 . 10. 【解析】 设,,,则, . 由,, , 可得,两点在圆上,且 , 所以 ,所以 为等边三角形, ,的几何意义为, 两点到直线的距离与之和,点到直线 的距离为 .如图，取的中点,连接，过点作 于点 ,则根据梯形的中位线定理得.因为 为等边三角形,,所以,所以点在圆 上运动,所以点到直线的最大距离为 （直线与圆相交,圆上的点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离加半径）,即 ,所以 的最大值为 ，则 的最大值为 . 11.(1)【答案】设,由题意知, , , , ,所以 或 . 经检验,当时,直线的方程为,此时直线与圆 相离,不符合题意,故舍去.即,所以直线的方程为,即 . (2)【答案】 当直线轴时,不合题意,故设直线 的方程为 .因为点为弦的中点,点为圆心,所以 , 所以在中,由,得,即 , 所以,即直线的斜率,从而得直线 的方程为 . 故圆心到直线的距离, , 点到直线的距离 , 所以 . 12.(1)【答案】圆,可化为 , 所以以为直径的圆的方程为 （圆的直径式方程）, 即为圆 . 过点作圆 的切线,切点弦所在直线的方程为 （“留一代一”）,整理，得 . (2)【答案】 设过点的直线的方程为 . 由与直线相切,得圆心到直线的距离 , 整理,得 , 所以 , 代入,可得 , 所以或 , 所以点的坐标为或 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $