1.1 一次函数的图象与直线的方程+1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §1 直线与直线的方程 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 能力提升训练 1.（2025江西省八校协作体联考）若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿 轴负 方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线 的斜率是( ) A. B. C. D. 2.［大招1］（2025广东东莞东华高级中学联考）已知，且点 ， ，则直线 的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知在平面直角坐标系中，等边的顶点与原点重合，若直线的斜率为 ， 则直线 的斜率可能为( ) A. B. C. D. 4.［大招3］（2025安徽省安庆二中月考）已知等边的顶点， ，顶点 在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则 的最大值为( ) A. B. C. D. 5.［大招2,3］（2025黑龙江哈尔滨三中期中）已知函数 则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.（多选|2025河北承德期中）已知为等边三角形，直线， 的斜率分别为0， ，则( ) A.直线的斜率为 B.边上的高所在直线的斜率为 C.边上的高所在直线的倾斜角为 D.边上的高所在直线的倾斜角为 7.［大招1］（多选|2025河南南阳六校联考）已知直线,,的斜率分别是,, ，倾 斜角分别是 , , ，且 ，则下列关系可能正确的是( ) A. B. C. D. 8.三名同学在暑期进行了社会实践活动，同在某工厂加工同一种产 品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 的横、纵坐标分 别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐 标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数， ,2,3， 记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则,, 中最大的是( ) A. B. C. D.不能确定 9.如图所示的大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星 均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗 小五角星的姿态与大五角星相近.为便于研究，以大五角星 的中心点为原点，建立平面直角坐标系，,,, 分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线， 与轴所成的角 ，则第三颗小五角星的一条边 所 在直线的倾斜角约为( ) A. B. C. D. 10.（2025福建福州一中期中）如图，矩形中， 为坐标原点，，光线从边上一点发出，到 边上的点，被反射到边上的点，再被反射到 边上的点，最后被反射到轴上的点处，若 ，则与 轴夹角的正切值的取值范围是______. 11.［大招1,2］（2025四川省广安二中月考）已知坐标平面内三点， ， . （1） 求直线, 的斜率和倾斜角； （2） 若为的边上一动点，求直线的斜率和倾斜角 的取值范围. 12.（2025山东菏泽期中）已知过坐标原点的一条直线与函数的图象交于 ， 两点，分别过点，作轴的平行线与函数的图象交于， 两点. （1） 证明：点，， 在同一条直线上； （2） 当直线的斜率为0时，求点 的坐标. 参考答案 1.A【解析】 设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线 的斜 率 . 2.D【解析】 设直线的倾斜角为 , ，由得，直线 的斜 率存在. 由题意 ， 因为，所以，所以 ， 所以，即 ，（斜率范围中含0,倾斜角有两部分） 所以 ， 即直线的倾斜角的取值范围是 . 3.C【解析】 通过画图发现直线的倾斜角和直线 的倾斜角之间的关系，从而利用定 义 来求解直线 的斜率. 令点位于第一象限，设直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，如图1，2所示， 则 或 （注意分两种情况）， . 当时， ; 当 时，.当点 位于第二象限时，结果 同上.故选C. 4.B【解析】 等边的顶点，，顶点在第一象限，故顶点 的坐标为 ，作出图象,如图所示，可看作内部及其边界上一点 与点 连线的斜率，当点运动到点时，直线的斜率最大，故 的最大值为 .故选B. 5.B【解析】 ，当时，表示函数 图象上一点 与连线的斜率乘；当时，直线与 轴垂直. 由题知，如图，, . ①求得临界状态：， . ②确定范围：由图可知，或（显然（（ ）,斜率范围满足“内分” 取两边），所以或，则的取值范围为 . 6.ABC【解析】 依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点， 在 轴正半轴上（如图所示）， 则 . 直线的斜率为 ； 因为边上的高也为的平分线，所以 边上的高 所在直线的斜率为 ； 边上的高所在直线的倾斜角为 ； 边上的高所在直线的倾斜角为 . 7.ABD【解析】 由倾斜角与斜率的关系即可判断. 当倾斜角都为锐角或都是钝角时， ； 当倾斜角只有两个锐角，即 , 为锐角， 是钝角时， ； 当倾斜角只有一个锐角，即 为锐角， , 是钝角时， . 故选 . 8.B【解析】 设,，根据题意可知表示第 名同学上午的工作时间， 表示第名同学上午的加工零件数，表示第名同学下午的工作时间，表示第 名 同学下午的加工零件数，所以，因此，可理解为线段 的中点 与原点连线的斜率（如图），由图可以看出 最大.故选B. 9.C【解析】 如图，过作轴的平行线，则 ，由五角星的内角为 ， 可知 ，所以直线的倾斜角约为 .故选C. 10. 【解析】 入射光线和反射光线所在的直线关于法线对称， 以此得到角度相等. 设与轴夹角为 ，由题意可知， ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以，所以 ， 所以 ，所以 . 11.(1)【答案】由题设及斜率公式得， ， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为 . (2)【答案】 如图，在线段上，由到的过程中，由增大到 ， 所以直线的斜率的取值范围为，，倾斜角 的取值范围为， . 12.(1)【答案】如图，设点， ，则 ，,由，， 三点共线，知 . 由，得 ， 所以，即 . 所以点，， 在同一条直线上. (2)【答案】 由题意可得轴，即有，得 ，所以 . 由（1）知，所以，得 ， 所以点的坐标为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $