第一章 直线与圆 单元能力测试-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆 单元能力测试 限时120分钟 满分150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.（2025江西上饶鄱阳二中检测）已知直线为常数， ， 则直线 的倾斜角的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.（2025江西上高二中月考）已知，直线 的方向向量与直线 的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为( ) A.4 B. C. D. 3.（2025江西南昌二中月考）已知,，直线 , ，且，则 的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 4.（2025江西省三新协同教研共同体联考）已知直线 与圆相交于，两点，则 的最小值为( ) A. B. C. D.2 5.（2025安徽江南十校联考）已知圆的方程为，为圆 上 任意一点，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.（2025江西赣南师大附中月考）若直线 与曲线 至少有一个公共点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.（2025北京市丰台区期中）在平面直角坐标系内，点是坐标原点，动点， 满足 ，，为线段的中点，为圆 上 任意一点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.（2024吉林长春二中模拟）如图，边长为4的等边，动点 在 以为直径的半圆上.若，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.（2025江西南昌八中月考）已知直线， ，则( ) A.若，则 B.若，则 C.若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D.当时， 不经过第一象限 10.（2025广西调研）已知点，若点在圆 上， 则( ) A.点在直线上 B.点可能在圆 上 C.的最小值为1 D.圆上至少有2个点与点 的距离为1 11.（2025重庆市铜梁中学、江津中学等七校联考）已知动点与两定点 ， 的距离之比为，设动点的轨迹为 ，下列结论正确的是( ) A.的方程为 B. 面积的最大值为3 C.最大时， D.设，则的最小值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.（2025吉林通化期中）若方程表示一个圆，则 的取值 范围为____________________. 13.（2025江苏扬州期中）过点作直线，使它被两条相交直线 和 所截得的线段，恰好被点平分，则直线 的方程为________________. 14.（2025浙江杭州学军中学月考）已知，函数 设 ，，其中，，若存在最小值，则 的取值 范围是______. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2025广东韶关曲江中学月考）已知直线 ，直线 ，直线与直线的交点为 . （1） 求点 的坐标； （2） 求过点且平行于直线 的直线的一般式方程； （3） 求过点且垂直于直线 的直线的一般式方程. 16.（15分）（2023佛山期末）已知过原点的动直线与圆 相 交于不同的两点, . （1） 求线段的中点的轨迹 的方程； （2） 若直线上存在点，使得以点为圆心，2为半径的圆与 有公共点， 求 的取值范围. 17.（15分）（2025江西赣南师大附中期中）已知圆过,, 三点，直线 . （1） 求圆 的方程； （2） 求圆关于直线对称的圆 的方程； （3） 若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求 的最小值. 18.（17分）（2025北京市北大附中月考）已知圆与直线 相切于点 ，且圆心在 轴的正半轴上. （1） 求圆 的方程； （2） 过点作直线交圆于，两点，且，两点均不在轴上，点 ，直 线和直线交于点.证明：点 在一条定直线上，并求此直线的方程. 19.（17分）（2025河南省实验中学期中） 在平面直角坐标系中，定义,为两点, 的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到 的“切 比雪夫距离”，记作 . （1） 已知点和点，直线，求和 . （2） 已知圆和圆 . ① 若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆 的位置关系； ② 若，圆与轴交于,两点，其中点在圆外，且，过点 任作一条斜率不为0的直线与圆交于,两点，记直线为，直线为 ，证明： . 参考答案 1.A【解析】 设直线倾斜角为 ，则，又 ，所以 . 2.B【解析】 由题意可得，所以，解得 ， 故两直线方程分别为， ， 故这两条平行线之间的距离为 . 3.C【解析】 因为，所以，即 ， 因为，，所以 ， 当且仅当，即， 时等号成立， 所以 的最小值为8. 4.C【解析】 可知直线恒过定点 ， 由于，故点在圆 内； 圆的圆心，半径 ， 直线的斜率 ， 圆心到直线的距离为，当直线的斜率为0时，取最大值1，此时弦 最短， 如图，所以 . 5.C解析】 由圆的方程知，圆心，半径 ， ， 的几何意义是圆上的点与点 连线的斜率，如图， 设过点的圆的切线方程为，即 圆心到切线的距离，解得 ， ， . 6.B【解析】 作出曲线 ，数形结合可得解. 直线恒过定点 ， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线 右侧的半圆（包括点 ， ， 如图所示， 当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时 ， 当与半圆相切时，由，得 ， 由图可知，当时，与曲线 至少有一个公共点. 7.A【解析】 由,得 ,又 ,且为线段 的中点,则 ,所以为圆 上任意一 点（隐圆的第一定义）.设圆 的圆心为点 ,则 .又,所以圆 与圆 相离,所以的几何意义为圆与圆 这两圆上的点之间的距离,所以 ，如图1. ,如图2,所以的取值范围为 . 8.D【解析】 由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 结合已知得，， ， 半圆弧的方程为 ， 设，则， ， ， 由得， 解得 所以 ， 因为在上，所以 ， 又 ， 则可设 ， ，（注意确定 的范围）， 将 ， 代入 整理得， ， 由 得 ， 所以， ， 故 的取值范围是 . 9.ACD【解析】 由题知，直线, ， 当时，，解得 ； 当时，，解得或 ； 在直线 中， 当时，，当时， ， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得 ； 由题知当时，的图象如图，可知 不经过第一象限. 10.AC【解析】 点 ，代入直线方程得 ，故点在直线 上； 圆心到直线的距离为 ， 故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆 上； 结合选项B可知， ； 由选项C可知圆上只有1个点与点 的距离为1. 11.BCD【解析】 设，由，即 ， 整理得 ； 以为底，且到 的最大距离为半径2（三角形底不变，高最大时面积 最大），所以面积的最大值是 ； 当最大时，此时，直线与圆 相切， 取点，连接,则，且 ， 由勾股定理可得 ； 由题意可得（阿氏圆上的任意点满足 ，由此转化， 消掉系数，利用三点共线求最值）， 则 ， 当且仅当为线段与圆 的交点时，等号成立，如图， 所以的最小值为 . 12. 【解析】 将方程化为圆的一般方程，利用 列式求解. 若方程表示一个圆，则，（【关键】, 系数 相等且不为0） 方程可化为（【易错】利用 时一定要先将二 次项系数化为1）， 所以，解得，且 ， 所以或 . 13. 【解析】 如图，设直线， ， 记直线夹在直线，之间的线段为在上，在上 ， 设， ， 因为被点平分，所以， ， 于是， ， 由于在上，在上，则 即解得， ， 即的坐标是，则直线的方程是 ， 即 . 14. 【解析】 作出图象，问题本质仍是考查直线与圆的位置关系. 依题意， ， 当时， ，易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线， 当时，，易知其图象是圆心为，半径为的圆在 轴及 轴上方的图象（即半圆）， 当时， ，易知其图象是一条端点取不到的单 调递减的曲线，如图所示. , ， 结合图象可知，要使取得最小值，则点 在 的图象上， 点在 的图象上， 同时的最小值为点到直线的距离减去半圆的半径 ， 此时，因为所在直线的斜率为1，则 ， 故直线的方程为 ， 联立得 解得则 ， 显然要保证在上，才能满足 取得最小值， 所以只需，即 都可满足题意，保证 ， 否则无最小值，故 . 15.(1)【答案】由解得 即直线与直线的交点 .（3分） (2)【答案】 设所求直线方程为 （平行直线系方程），则 ，解得 ， 所以过点且平行于直线的直线的一般式方程为 .（8分） (3)【答案】 设所求直线方程为 （垂直直线系方程），则 ，解得 ， 所以过点且垂直于直线的直线的一般式方程为 .（13分） 16.(1)【答案】由题可知的斜率存在,设直线 ,（2分） 设,圆即 ,则圆心, . 连接,因为为弦的中点,所以 , 即,所以 , 即 .（5分） 由得, 为两圆的交点, 所以轨迹 的方程为 .（7分） (2)【答案】 由（1）知， 为圆上不含,的劣弧 . 因为直线上存在点,使得以点为圆心,2为半径的圆与 有公共点, 当时,存在圆 满足题意；（10分） 当时,只需点到直线的距离 , 解得 ；（12分） 当时,只需点到直线的距离 , 解得 .（14分） 综上,的取值范围是 .（15分） 17.(1)【答案】设圆的方程为，代入,, ， 则解得 所以圆的方程为 .（5分） (2)【答案】 设 ，由对称关系可知解得所以 ， 又因为对称圆的半径不变，所以圆的方程为 .（10分） (3)【答案】 作出图象如图，因为 （【关键】在圆外，在圆上，其距离的最小值为 ,由此放缩，将动点转化为定点 ）， 由（2）可知关于直线的对称点为（, 两定点在直线的同侧，先通过点关于直线的对称转化到异侧，利用三点共线求解）， 所以 ， 当且仅当,, 共线时取等号， 所以，即的最小值为 . （15分） 18.(1)【答案】由圆心在轴的正半轴上设圆心 ， 又圆与直线相切于点，则，解得 ， 所以，半径，所以圆的方程为 . （7分） (2)【答案】 如图，设，，直线 方程为 （已知直线与 轴的交点常这样设线）， 联立得得 ，（10分） ， ， ，（12分） 直线方程为，直线方程为 ， 联立得 可得 ， 所以点在直线 上.（17分） 19.(1)【答案】 , .（1分） 设上任意一点为 ，则,, . 当时， ； 当时， ， 所以的最小值为2，故 .（3分） (2)①【答案】 由题可知圆的标准方程为，所以圆心为 ，半径 .由圆的方程知圆心为，半径 . , |}. 当，即时，由，解得，所以 . 此时，所以圆与圆 相切（答“内切”也对）.（7分） 当，即时，由，解得，所以 . 此时，所以圆与圆 相切.（9分） ②【答案】 因为,都在轴上，所以 ，（10分） 所以，得或 （舍去）. 此时圆，令，解得或 ， 因为点在圆外，所以, .（13分） 由题意设直线的方程为（已知直线与 轴的交点或斜率不为0，常这样设 线）,, . 由可得 ，（14分） 当，即 时， 有, .（15分） ， 因为，所以 （倾斜角互补）， 所以直线与关于轴对称，即关于直线 对称， 由对称性知 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $