2.4 圆与圆的位置关系 基础题型训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程-2.4 圆与圆的位置关系 基础题型训练 题型一 圆与圆位置关系的判断及应用 1.（2025天津南仓中学月考）已知圆 ，圆 ，则这两个圆的位置关系为( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 2.（多选|2025山东泰安正德高级中学月考）已知，圆 ， ，则( ) A.两圆可能外离 B.两圆可能相交 C.两圆可能内切 D.两圆可能内含 3.（2025广东八校联盟检测）若圆与圆 没有公共点，则实数 的取值范围是_________________. 4.（2025陕西科技大学附中月考）已知圆 ，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则 的取值范围为_______. 题型二 圆与圆的公切线问题 5.（2025江西学情检测）已知圆 ，圆，则圆， 的公切线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.（2025湖南联考）圆与圆 的内 公切线长为( ) A.3 B.5 C. D.4 7.（2025广东佛山联考）写出与圆和圆 都相切的一 条直线方程：_ __________________________________________. 8.（2025云南昆明官渡区测评）若圆 和圆有且仅有一条公切线，则 ___；此公切线的方程为________________. 题型三 两圆的公共弦问题 9.（2025广东东莞七校联考）已知圆 与圆相交于， 两点，则两圆公共弦所在直线的方程为( ) A. B. C. D. 10.（2025江西新余四中段考）已知圆 与圆相交所得的公共弦长为 ，则圆的半径 ( ) A.1 B. C.或1 D. 11.（多选|2025广西玉林期中）已知圆 ，圆，且，不同时为0交于不同的两点 ， ，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 题型四 已知圆与圆的位置关系求圆的方程 12.（2025天津市第四十七中学月考）圆心在直线 上，且经过两圆 ， 的交点的圆的方程为( ) A. B. C. D. 13.与圆切于点，且过点 的圆的方程为 ____________________________________________________________. 参考答案 1.C【解析】 几何法.圆的圆心为，半径为 ， 圆的方程可化为 （利用几何法判 断两圆位置关系时，需明确圆心和半径，因此将一般方程化为标准方程）， 圆的圆心为，半径为，圆心距 ， 因为,, ， 所以两个圆的位置关系是相交. 2.ABC【解析】 圆的圆心为,半径,圆 的圆心为,半径,则,,.当 时, ,两圆外离；当时, ,两圆相交；当 时,,两圆内切；当时, ,两圆外切.综上所述,两 圆可能外离,可能相交,可能内切,可能外切，不可能内含. 3. 【解析】 反面求解：先求两圆有公共点时的取值范围，进而求出两圆没有公共点时 的取值范围. 圆，圆心 ，半径为1， 圆，圆心 ，半径为1， 若两个圆有公共点，则，解得 ， 若两个圆没有公共点，则实数的取值范围为或 ． 4. 【解析】 由题意,得圆与圆 有公共点,所以 ,所以且,解得 . 5.B【解析】 先确定两圆的位置关系，进而确定公切线的条数. 圆化为 ， 所以圆的圆心为， ，又圆的圆心为， ， 所以 ， 因为 ， 所以圆与圆相交，所以圆， 的公切线条数为2. 6.D【解析】 如图，由图可知圆与圆的内公切线有一条为 轴， 则公切线的长为 . 7.或中任何一个答案均可 【解析】 圆的圆心为,半径为,圆 的圆 心为,半径为,连接,则 ,所以两圆外离（两圆外离, 公切线有4条）,由两圆的圆心都在 轴上,则公切线的斜率一定存在,设公切线方程为 ,即,则有解得或或 或所以公切线方程为或 . 8. 【解析】 如图, 由题意,得圆与圆 内切（两圆有且仅有一条公切线,则两圆内 切）.又圆 ,所以 （两圆内切,圆心距等于大圆 半径减小圆半径）,所以,解得 . 由上可知, .联立得 解得 所以切点的坐标为 ,故所求公切线的方程为 ,即 . 9.B【解析】 两圆方程相减可得答案. ①， ②， （两圆方程相减求公共弦所在直线的方程时,, 的系数必须相同），化简得 . 10.D【解析】 与 两式相减，得 ,即公共弦所在直线方程.圆 的方程可化为 ,可得圆心,半径.则圆心到 的距离为 ,半弦长为,则有,解得或 （舍去）,此时 . 11.ABC【解析】 圆和圆 交于不同的两点，， 两圆方程相减可得直线的方程为 ， 即，分别把， 两点的坐标代入， 得， ， 上面两式相减得 ， 即 ； 由上得， ； 两圆的半径相等， 由圆的性质可知，线段与线段 互相平分， 则有， （中点坐标相同），变形可得， 12.A【解析】 设经过两圆交点的圆的方程为 ,即 , 圆心坐标为,因为圆心在直线上,所以 ,解得 ,所以所求圆的方程为 . 13.（也可写成） 【解析】 与圆切于点 的圆的方程可以设为 ,代入点的坐标 ,得 ,故所求的圆的方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $