课时作业9 圆与圆的位置关系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(九)　圆与圆的位置关系 [基础达标练] 1．(多选)圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A．(－1，0)　　　　　　　　B．(1，0) C．(0，1) D．(0，－1) 解析：选AD　由 解得或 所以两圆的交点坐标为(－1，0)和(0，－1). 2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 解析：选B　将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝，由于2＜d＜4，所以两圆相交． 3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 解析：选A　法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1，0)，C2(－1，2)，得l方程为x＋y－1＝0. 法二：直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y＝－(x－1)，故选A. 4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 解析：选C　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根， 整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝＝8. 5．两圆相交于两点A(1，3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则实数m＝________，c＝________． 解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，且kAB＝＝－1，即m＝5，又点在该直线上，所以－1＋c＝0，所以c＝－2. 答案：5　－2 6．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________． 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋ λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0 7．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2，3)，(1，4)的圆的方程． 解：公共弦所在直线的斜率为， 已知圆的圆心坐标为， 故两圆圆心所在的直线的方程为y－＝－x，3x＋2y－7＝0. 设求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 由 解得 所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0. 8．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值； (2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程． 解：(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2， 又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)， 可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0， 两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0. 因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0，0)， 即r2＝9(r>0)，解得r＝3. (2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)， 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0， 所以＋＝， 由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径， 可得＝， 解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0. [能力提升练] 9．过点P(2，3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(　　) A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 解析：选B　∵PA为圆的切线， ∴OA⊥PA， ∴|PA|2＝4＋9－1＝12，∴以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝12. ∵AB为两圆的公共弦，∴弦AB所在的直线的方程为[(x－2)2＋(y－3)2－12]－(x2＋y2－1)＝0.即2x＋3y－1＝0. 10．(多选)若圆C1：(x－m)2＋(y－1)2＝7始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的周长，则直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得弦长为(　　) A．2 B． C．2 D． 解析：选BD　由圆C1：(x－m)2＋(y－1)2＝7得x2＋y2－2mx－2y＋m2－6＝0， 由圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2得，x2＋y2＋2x＋2y＝0， 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为(2m＋2)x＋4y－m2＋6＝0 由题意知直线l经过圆C2的圆心(－1，－1)， 因而m2＋2m＝0， ∴m＝0或m＝－2， 当m＝0时，圆C1的圆心坐标为(0，1)，半径为，圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离 d＝＝， ∴直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得的弦长为2＝. 当m＝－2时，圆C1的圆心坐标为(－2，1)，半径为，圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离． d＝＝， ∴直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得弦长为2＝. 故选BD. 11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． 解析：可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0).由题意，≤2.整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值为. 答案： 12．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直，则r＝________． 解析：设一个交点为P(x0，y0)， 则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2， 所以r2＝41－8x0＋6y0， 因为两切线互相垂直，所以·＝－1， 所以3y0－4x0＝－16. 所r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，所以r＝3. 答案：3 13．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1). (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 解：(1)因为两圆外切， 所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)， 故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r. 因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4， 此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.① 作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝， |O1H|＝＝＝. 又圆心(0，－1)到直线①的距离为＝， 得r＝4或r＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.[素养拓展练] 14．如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与 圆M，x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D. (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 解：(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA及OB的距离均为圆M的半径，则M与∠BOA的角平分线上，同理，N也在∠BOA的角平分线上，即O，M，N三点共线，且射线ON为∠BOA的角平分线． 因为M的坐标为M(，1)， 所以M到x轴的距离为1，即：圆M的半径为1， 所以圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1； 设圆N的半径为r，由Rt△OAM∽Rt△OCN， 得OM∶ON＝MA∶NC， 即＝⇒r＝3，OC＝3， 所以圆N的方程为：(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由对称性可知，所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在的直线方程为y＝(x－)，即x－y－＝0， 圆心N到该直线的距离 d＝＝， 则弦长＝2＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$