1.4 两条直线的平行与垂直 基础题型训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆 §1 直线与直线的方程-1.4 两条直线的平行与垂直 基础题型训练 题型一 判断两条直线的位置关系 1.下列各组直线中，互相垂直的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 2.（多选|2025江苏苏州高新区一中月考）若与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角 分别是,，斜率分别为, ，则下列命题正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若 ，则 题型二 根据两直线的位置关系求参数 3.（2025河南驻马店期末）“”是“直线 与直线 互相垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. （2024甘肃兰州开学考试）已知经过点和点的直线 与经过点和点的直线互相垂直，则实数 的值为( ) A.0 B.1 C.0或1 D. 或1 5.（多选|2025浙江杭州联考）已知直线 ，直线 ，则( ) A.直线可以与轴平行 B.直线可以与 轴平行 C.当时， D.当时， 6.（2025福建福州期中）若直线与直线 平行，则实数 ___. 题型三 直线的平行、垂直在几何图形中的应用 7.已知点，，，是的垂心,则点 的坐标为( ) A. B. C. D. 8.（2025四川达州外国语学校月考）如图，在平行四边形 中，边所在直线的方程为，点 . （1） 直线 的方程为______________； （2） 边上的高 所在直线的方程为______________. 9.（2025广东江门广雅中学月考）已知四边形的顶点为,, , . （1） 求斜率与斜率 ； （2） 求证：四边形 为矩形. 题型四 求与直线平行或垂直的直线方程 10.下列与直线 平行的直线的方程是( ) A. B. C. D. 11.（2025江苏镇江期中）将直线绕点顺时针旋转 得到直线 ， 则直线 的方程是_____________. 12.已知直线，点 . （1） 求过点且与 平行的直线方程； （2） 求过点且与 垂直的直线方程. 参考答案 1.D【解析】 利用斜率存在且互相垂直的两直线的斜率之积为 判断. 直线的斜率为，直线的斜率为 ，故两直线平行； 直线的斜率为，直线的斜率为 ，斜率之积不为 ，即两直线不垂直； 直线的斜率为，直线的斜率为 ，斜率之积不为 ，即两直线不垂直； 直线的斜率为，直线的斜率为 ，斜率之积为 ，即两直线垂直. 2.ABC【解析】 若，则，则 ； 由两直线垂直的条件可知，若，则 ； 由两直线平行的条件可知，若，则 ； 若 ，不妨取,，则, ， 不满足，, 不垂直. 3.A【解析】 利用求解.因为“直线 与直线 互相垂直”可得 , 所以，故或 . 所以“”是“直线与直线 互 相垂直”的充分不必要条件. 4.C【解析】 直线的斜率 . ①当（【易错】当时，斜率公式无意义，此时的倾斜角为 ，所以需要对 的值分情况讨论）时，直线的斜率.因为，所以 ， 即，解得 . ②当时，，，此时直线为轴，又，，则直线为 轴，显然 .综上可知，或 . 5.ABD【解析】 当时（与轴平行斜率为0），直线，此时直线 与 轴平行； 当时（与轴平行斜率不存在），直线 ，此时直线与 轴平行； 若，则，解得，此时直线，与 重合； 若，则，解得 . 6.1【解析】 由于直线与直线 平行, 则且 （【易错】一定要排除两直线重合的情况），可得，且，解得 ，所以实数 . 7.D【解析】 由题意画出图形，由是 的垂心可得两直线垂直，将垂直关系转化为斜率之积为求解.如图，连接, . 设点的坐标为，因为直线的斜率 ，且，而点的横坐标为6，所以.因为直线 的斜率，所以直线的斜率 ，所以，所以点的坐标为 . 8.(1) 【解析】 四边形 为平行四边形， . 直线的方程为，即 . (2) 【解析】 ， . 直线的方程为，即 . 9.(1)【答案】 因为,,, ， 所以,，即, . (2)【答案】 因为,，所以 （【点拨】利用斜率相等判断平行）.又因为,，所以 ， 所以四边形 为平行四边形， 又因为，所以 （【点拨】利用斜率积为-1判断垂直）， 所以四边形 为矩形. 10.A【解析】 根据斜率相等，纵截距不同判断. 直线的斜率为4，纵截距为 . 直线斜率为4，纵截距为 ； 直线斜率为 ，纵截距为2； 直线斜率为，纵截距为 ； 直线斜率为，纵截距为 . 11. 【解析】 由绕其上一点顺时针旋转 得到，所以 . 由方程可知，的斜率为 ， 由题意可知，，所以直线的斜率 ， 因为过点，所以由直线点斜式方程可知的方程为 ， 即 . 12.(1)【答案】易知直线的斜率 ， 设过点且与平行的直线的斜率为，则 ，（斜率存在的两直线平行,斜率相等） 所以直线的方程为，即过点且与 平行的直线方程为 . (2)【答案】 设过点且与垂直的直线的斜率为 ， 则（斜率存在的两直线垂直,斜率之积为-1），所以 ， 所以直线的方程为，即 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $