1.4 两条直线的平行与垂直 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §1 直线与直线的方程-1.4 两条直线的平行与垂直 能力提升训练 1.（2025安徽临泉田家炳实验中学月考）设，直线 与 垂直，则 的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 2.（2024北师大二附中期中）若点是直线 外一点， 则方程 表示( ) A.过点且与垂直的直线 B.过点且与 平行的直线 C.不过点且与垂直的直线 D.不过点且与 平行的直线 3.（2025安徽合肥期末）已知,, ，在这三条直线 中有两条互相平行，另外一条与它们垂直，则实数 ( ) A.0 B.1 C. D.1或 4.（多选|2025辽宁大连育明高级中学月考）已知直线，直线 ，直线，直线 ，则下列说法正确的是( ) A.对任意的,恒成立 B.对任意的, 恒成立 C.存在，使得成立 D.存在，使得 成立 5. （2025广东广州第十六中学期中）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何 学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧 拉线.已知的顶点为，，，若直线 与的欧拉线平行，则实数 的值为( ) A. B. C. 或3 D.3 6.（2025天津静海一中月考）已知的顶点，高 所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为.则点 的坐标为____________； 边所在直线方程为__________________. 7. （2025四川广安二中月考）已知,, . （1） 若,,,四点可以构成平行四边形，求点 的坐标； （2） 在（1）的条件下，若点在第四象限，判断,,, 四点构成的平行四边形是否为菱形. 8.（2025福建泉州检测）已知，， . （1） 若，，求点 的坐标； （2） 若点在轴上，且，求直线 的倾斜角. 参考答案 1.A【解析】 因为直线与 垂直， 所以，即 ， 所以（ ,不满足 使用基本不等式“正”的条件,因此先提取负号），当且仅当，即， 时取等号. 2.B【解析】 由题意可知点是直线 外一点，故 且为常数，所以方程 中， 且为常数，则直线与 平行， 将代入 中，得 ，即点 在该方程表示的直线上，故方程 表示过点且与 平行的直线.故选B. 3.C【解析】 对于直线,, ，整理得 ,, ， 若, ， 则 无解； 若, ， 则解得，经检验，直线,不重合（ 是成立的必要条件,而非充要条件,所以需要排除与 重合的情况）； 若, ， 则无解.综上， .故选C. 4.ACD【解析】 利用判断是否垂直研究A，C选项，利用 判断是否平行研究B，D选项. ， ， 又，，故 恒成立； ， ， 又，, 不成立； ， ， 当时，，故存在，使得 成立； ， ， 当时， ， 且，故存在，使得 成立. 5.B【解析】 由的顶点，，知， 的重心为 ，即，又为直角三角形，所以外心为斜边中点 ， 即，所以的欧拉线方程为，即 .因为直线 与直线平行，所以，得 .故选B. 6. 【解析】 的顶点，高所在直线方程为 ， 直线的斜率 ， 直线的方程为，即 . 由角的平分线所在直线方程为 ， 由解得 点的坐标为 . ，，角的平分线所在直线方程为 ， ， ，解得或 （舍）， 直线的方程为，即 . 7.（1）【答案】 分四边形，， 是平行四边形三种情况讨论，分别利用对 边的斜率相等求解. 由题意得，，，设 ， 若四边形是平行四边形，则， ， 即解得 即 . 若四边形是平行四边形，则， ， 即解得即 . 若四边形是平行四边形，则， ， 即解得 即 . 综上所述，点的坐标为或或 . （2）【答案】 点的坐标为 ， 因为，直线的斜率不存在，与 不垂直， 所以平行四边形 不是菱形. 8.（1）【答案】设，由已知得 ， 由，可得 ， 即 . ① 由已知得 ， 由，可得 ， 即 . ② 联立①②解得, ， 所以 . （2）【答案】 设 ， 因为（【关键】直线的倾斜角与直线 的倾斜角互补,斜率互为相反 数），，所以，所以， ， 解得，所以 . 又因为，所以 轴， 故直线的倾斜角为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $