专题01 指数的运算与性质（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题01指数的运算与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根式的概念 1 题型二、分数指数幂转化成根式 2 题型三、根式转化成分数指数幂 3 题型四、分数指数幂与根式互化 3 题型五、根式化简求值 5 题型六、根式有意义的条件 5 题型七、常规根式化简求值 6 题型八、已知型求值问题 7 题型九、已知型 8 题型十、指数幂的运算 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根式的概念 1．若＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（    ） ①当n为奇数时，x的n次方根为a； ②当n为奇数时，a的n次方根为x； ③当n为偶数时，x的n次方根为±a； ④当n为偶数时，a的n次方根为±x. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据＝a（x≠0），讨论n为奇数和n为偶数时，得出a的n次方根即可判断. 【详解】n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于＝＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的， 故选：B. 2．(多选)下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 3．（多选）(23-24高一上·广东广州白云中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】 对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 题型二、分数指数幂转化成根式 4．(24-25高一上·北京北大附中朝阳未来学校·月考)将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式指数幂与根式关系即可得结果. 【详解】. 故选：C 5．(23-24高一上·上海金山区世外学校·期中)将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【答案】 【分析】根式与分数指数幂的互化得到答案. 【详解】 故答案为： 6．(23-24高一上·河南南阳唐河县鸿唐高级中学·月考)= 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式互化即可. 【详解】略 题型三、根式转化成分数指数幂 7．(24-25高一上·天津第五十七中学·)设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【详解】因为，所以. 故选：D. 8．(24-25高一上·河北沧州四县联考·月考)设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 9．(24-25高一上·上海松江区·期末)经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 题型四、分数指数幂与根式互化 10．（多选）(23-24高一上·安徽淮南淮南四中·)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据根式与分数指数幂的化简计算可得结果. 【详解】对于A，，即A正确； 对于B，，可得B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D正确. 故选：ACD 11．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 12．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】先计算内层函数的值，再将其作为自变量代入函数计算外层函数的值. 【详解】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. 题型五、根式化简求值 13．(25-26高一上·江苏阜宁中学·月考)若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 14．(25-26高一上·江苏海安实验中学·月考)设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，两种情况进行根式化简讨论，从而可求解. 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确. 故选：B. 15．(25-26高一上·陕西西北工业大学附属中学·)先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意求的取值范围，结合因式分解化简整理，代入运算即可. 【详解】令，解得或； 令，解得； 可知的取值范围为. 则， 结合题意只可取，代入得. 题型六、根式有意义的条件 16．（多选）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据根式的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 17．16的4次方根是 ，有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据根次数及根式有意义求根和参数的范围 【详解】由4是偶数，则偶次方根有两个，故； 由3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义，故，即． 故答案为：， 18．若有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【详解】∵根指数为6，∴，∴． 故答案为：． 题型七、常规根式化简求值 19．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由根式与指数幂的转换即可求解. 【详解】原式，又， 则原式． 故选：B 20．(24-25高一上·上海大学附属中学·期末)当 时，化简: . 【答案】 【分析】利用根式化简计算即可； 【详解】因为 所以， 故答案为： 21．(24-25高一上·安徽”江南十校“·)化简： ． 【答案】18 【分析】将根式化为分数指数幂进行计算可得结果. 【详解】易知． 故答案为：18 题型八、已知型求值问题 22．(25-26高一上·浙江杭州第十四中学·)设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 3．已知，求的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得， 所以. 24．对于正整数和非零实数，有，求的值． 【答案】 【分析】由得，从而，可求的值. 【详解】，且为非零实数，． 同理可得 ，即． 又为正整数，且由题意可知， ． ． 题型九、已知型 25．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·月考)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式以及开平方，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 26．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 27．(25-26高一上·江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学、宿迁项里高中、洋河如东中学·)已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 题型十、指数幂的运算 28． . 【答案】 【分析】根据合并同类同底数幂的乘法法则计算求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 29．(24-25·周测7实数指数幂和幂函数-·)完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式：． 30．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用指数运算性质即可得出. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 一、单选题 1．(23-24高一上·四川雅安·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 3．(23-24高一下·辽宁部分学校·)人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可判断A；利用基本不等式，结合指数幂的运算法则可以判定C；取中一个较小，一个较大时可得出反例从而否定B；利用乘1法，结合基本不等式可以判定D. 【详解】因为.所以 即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确； 当时，满足，此时，故B错误； （当且仅当时，等号成立），故C错误； 由得，所以 （当且仅当时，等号成立），故D正确. 故选：AD 5．(20-21高一上·江苏常州前黄高级中学·期中)已知且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，由基本不等式结合指数幂的运算性质即可求解；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】两边平方得，进而求得，，代入即可求得的值. 【详解】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高一上·海南东坡学校·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) ； (2)1 ． 【分析】（1）根据幂的运算法则计算； （2）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则求解． 【详解】（1） ． （2）原式． 8．(24-25高一上·浙江91高中联盟·期中)（1）求值：. （2）设，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂及其运算性质化简求值即可； （2）运用三次方公式化简，再根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）      . （2）因为，且， 所以 . . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01指数的运算与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根式的概念 1 题型二、分数指数幂转化成根式 1 题型三、根式转化成分数指数幂 2 题型四、分数指数幂与根式互化 2 题型五、根式化简求值 2 题型六、根式有意义的条件 2 题型七、常规根式化简求值 3 题型八、已知型求值问题 3 题型九、已知型 3 题型十、指数幂的运算 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根式的概念 1．若＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（    ） ①当n为奇数时，x的n次方根为a； ②当n为奇数时，a的n次方根为x； ③当n为偶数时，x的n次方根为±a； ④当n为偶数时，a的n次方根为±x. A．1 B．2 C．3 D．4 2．(多选)下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 3．（多选）(23-24高一上·广东广州白云中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 题型二、分数指数幂转化成根式 4．(24-25高一上·北京北大附中朝阳未来学校·月考)将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·上海金山区世外学校·期中)将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 6．(23-24高一上·河南南阳唐河县鸿唐高级中学·月考)= 题型三、根式转化成分数指数幂 7．(24-25高一上·天津第五十七中学·)设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·河北沧州四县联考·月考)设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·上海松江区·期末)经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 题型四、分数指数幂与根式互化 10．（多选）(23-24高一上·安徽淮南淮南四中·)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数，则 ． 题型五、根式化简求值 13．(25-26高一上·江苏阜宁中学·月考)若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 14．(25-26高一上·江苏海安实验中学·月考)设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．(25-26高一上·陕西西北工业大学附属中学·)先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 题型六、根式有意义的条件 16．（多选）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 17．16的4次方根是 ，有意义，则x的取值范围是 ． 18．若有意义，则实数x的取值范围为 ． 题型七、常规根式化简求值 19．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．(24-25高一上·上海大学附属中学·期末)当 时，化简: . 21．(24-25高一上·安徽”江南十校“·)化简： ． 题型八、已知型求值问题 22．(25-26高一上·浙江杭州第十四中学·)设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3．已知，求的值. 24．对于正整数和非零实数，有，求的值． 题型九、已知型 25．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·月考)若，则的值为 ． 26．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 27．(25-26高一上·江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学、宿迁项里高中、洋河如东中学·)已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型十、指数幂的运算 28． . 29．(24-25·周测7实数指数幂和幂函数-·)完成下列式子的化简： (1)； (2)． 30．计算下列各式： (1)； (2)． 一、单选题 1．(23-24高一上·四川雅安·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 3．(23-24高一下·辽宁部分学校·)人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 二、多选题 4．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．(20-21高一上·江苏常州前黄高级中学·期中)已知且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 三、填空题 6．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知，，则的值为 . 四、解答题 7．(24-25高一上·海南东坡学校·期中)计算： (1) (2) 8．(24-25高一上·浙江91高中联盟·期中)（1）求值：. （2）设，且，求的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $