精品解析：天津市武清区天和城实验中学2025-2026学年高一上学期第一次形成性检测数学试题

2025—2026学年度高一第一学期第一次形成性检测 数学试卷 第I卷 注意事项：请将I卷的答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效. 一、单选题（4*9=36分） 1. 给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知a，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，，则最大值为（ ） A 8 B. 9 C. 16 D. 18 8. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项：请将Ⅱ卷的答案书写在答题卡上，答在试卷上的无效. 二、填空题（4*6=24分） 10. 集合的真子集的个数是__________． 11. 已知、为不相等的实数，记，，则与的大小关系为______． 12. 设集合若集合为单元素集，则实数的值为_______. 13. 用列举法表示集合______． 14. 2021年天津市第四十七中学学生秋季运动会，高一某班41名学生中有10名学生没有参加比赛，该班参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为___________. 15. 正实数 满足 ，当 取得最大值时， 的最大值为________. 三、解答题 16. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4） 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 18. （1）已知，求和的取值范围； （2）已知，求的最小值. 19. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求不等式解集： （2）当，，且满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 设函数． （1）若不等式解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一第一学期第一次形成性检测 数学试卷 第I卷 注意事项：请将I卷的答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效. 一、单选题（4*9=36分） 1. 给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见数集的符号表示，结合属于关系与包含关系的定义、空集的性质进行判断即可. 【详解】因为是实数，所以①正确； 因为所以的整数都是有理数，所以，因此②不正确； 因为空集中没有元素，所以③不正确； 因为空集是任何集合的子集，所以④正确， 因此正确个数为， 故选：B 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 3. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图表示的进行计算即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合是， 因为，， 所以. 故选：B 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定可得. 【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为，. 故选：B 5. 已知a，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】如果，则有，即充分性成立； 如果，则有，但不能推出， 比如，满足，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 设，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助不等式性质对选项逐个分析即可得. 【详解】对A：若，则由，有，故错误； 对B：若，则有，故错误； 对C：若，则有，故错误； 对D：由，则，，故，故正确. 故选：D. 7. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质以及整体代入法，掌握不等式的性质是解题关键,基础题． 8. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，. 故选：C. 9. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 第Ⅱ卷 注意事项：请将Ⅱ卷的答案书写在答题卡上，答在试卷上的无效. 二、填空题（4*6=24分） 10. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 11. 已知、为不相等的实数，记，，则与的大小关系为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用作差法可得出与的大小关系. 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 12. 设集合若集合为单元素集，则实数的值为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 13. 用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果. 【详解】因为，且，所以，则，故或7，所以． 故答案为：. 14. 2021年天津市第四十七中学学生秋季运动会，高一某班41名学生中有10名学生没有参加比赛，该班参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据题意得出31名学生参加了比赛，然后设出田赛和径赛都参加的学生人数，列出方程求解即可. 【详解】因为41名学生中有10名学生没有参加比赛，所以有31名学生参加了比赛， 设田赛和径赛都参加的学生人数为，则，解得. 所以田赛和径赛都参加的学生人数为8人. 故答案为：8. 15. 正实数 满足 ，当 取得最大值时， 的最大值为________. 【答案】##2.25 【解析】 【分析】由条件可得，可得，利用基本不等式可得,时，取到最大值，且，代入，运用二次函数性质求出其最大值即可. 【详解】正实数满足，可得，， 由，当且仅当,时等号成立， 即时，取到最大值，且， ， 当时，取到最大值为. .故答案为：. 三、解答题 16. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3）或 （4）为或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）利用一元二次不等式的解法求解即可； （3）利用绝对值不等式的解法求解即可； （4）利用分式不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由可得，解得， 故原不等式的解集为； 【小问2详解】 原不等式可化为， 易知方程有两个相等实根， 画出函数的图像如图所示， 由图4可知原不等式的解集为. 【小问3详解】 由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为或； 【小问4详解】 ， 解得或， 所以不等式的解集为或. 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 18. （1）已知，求和的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1），；（2）7 【解析】 【分析】（1）根据题意结合不等式的性质求取值范围即可； （2）根据题意利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）因为，则，， 可得，即， 且，即； （2）因为，则， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7. 19. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求不等式的解集： （2）当，，且满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三个二次关系计算参数，再解一元二次不等式即可； （2）利用基本不等式结合（1）的结论求得的最小值，再解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由题意知是方程的两个根，所以，所以， 则不等式等价于，解之得； 【小问2详解】 由上知，则， 当且仅当时取得等号， 所以恒成立等价于， 即，所以，即实数的取值范围为. 20. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解不等式可得参数范围； （2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况； （3）分离参数可得，结合基本不等式求最值可得参数范围. 【小问1详解】 当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得， 综上所述，即； 【小问2详解】 ，即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又是，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $