精品解析：云南省金太阳百校联考2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

云南省高三数学考试 审题单位：昆明市第一中学 审题人：顾先成 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】集合， 则， 故选：D 2. 双曲线：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解. 【详解】因为双曲线：，所以， 则的渐近线方程为. 故选：C. 3. 样本数据1，1，2，3，5，6的分位数为（ ） A. 1 B. 2.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】因为，所以该组数据的分位数为2. 故选：C. 4. 在等差数列中， ，则的公差为（   ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 所以. 故选：B 5. 在梯形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 6. 若直线与函数的图象相切，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数设切点，再根据斜率及点代入列式求解即可. 【详解】由题意得，设切点为， 则， 解得. 故选：A. 7. 若，则的最小值为（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】应用对数运算结合基本不等式计算求解. 【详解】由题意得，，且，. 由， 得， 所以 当且仅当即时，等号成立. 故选：C. 8. 把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形特征得出，再应用二面角定义得出平面角为，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】 取为的中点，则. 设球的半径为，则，得，则. 因为，， 所以二面角的平面角为. 由，得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可． 【详解】， ；；； ． 故选：ABD． 10. 已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 若，，三点共线，则的最小值为2 D. 若（为坐标原点）为正三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由抛物线方程求准线方程即可；对于B：根据题意结合抛物线的定义分析求解；对于C：根据抛物线的性质即可得结果；对于D：分析可知垂直于轴，结合方程运算求解即可. 【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上， 所以的准线方程为，故A正确； 对于选项B：因点在的内部，过点作垂直于直线，垂足为， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为直线过焦点， 可知当垂直于轴时，取到最小值为，C正确； 对于选项D：当为正三角形时，可知垂直于轴， 设，则，代入的方程得，得， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入计算求解判断A，B，应用作差法计算判断C，应用裂项相消法计算求和判断D. 【详解】当时，，得，当时，，得，A错误. 由①， 当时，②， 得， 得， 得，则.又，所以，B正确. 当时，由，得，又，所以，C正确. 当时，由， 得，得， 所以 （当时，也成立），D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义进行求解即可.; 【详解】， 因为为偶函数， 所以当时，恒成立， 即恒成立， 化简，当时，恒成立， 因此只需， 故答案为： 13. 甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有________（用数字作答）种. 【答案】72 【解析】 【分析】根据排列的定义，结合分步乘法原理进行求解即可. 【详解】因为甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有种， 则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有种，， 所以5名同学获奖的所有可能情况有种. 故答案为：72 14. 已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数性质可得圆心是函数的一个对称中心，结合对称性，根据函数在直线右边的第一个最值点在圆内或在圆上，第二个最值点在圆外，列不等式组求解可得. 【详解】因为，所以是函数的一个对称中心， 圆的圆心为，半径为， 由对称性可知，要使的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上， 只需满足直线右边的第一个最值点在圆内或在圆上，第二个最值点在圆外， 由正弦函数性质可知，函数的周期， 所以函数在直线右边的第一个最值点为，第二个最值点为， 所以，结合解得， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【小问1详解】 甲获得一份精美礼品的概率为. 【小问2详解】 由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为的中点. （1）证明：. （2）已知，直线与平面所成角的正切值为. ①求； ②求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 底面是矩形，. 平面，平面，. ，平面，平面， 平面. 平面，. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，通过证明平面即可求解； （2）①连接，设，，由（1）知平面，则直线与平面所成的角为，继而可得，进而得到； ②方法一、以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，根据空间向量法求异面直接夹角即可； 方法二、分别取，的中点，，连接，，，，，异面直线与所成的角为（或的补角），再利用余弦定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接，设，. 平面，直线与平面所成的角为. 易得， ， 得. ②方法一、以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所 示的空间直角坐标系. 设，则， 则，，，，，， 得. 异面直线与所成的角为锐角，异面直线与所成角的余弦值为. 方法二、如图，分别取，的中点，，连接，，，，. ，异面直线与所成的角为（或的补角）. ，平面，平面. 平面，平面， ，. 设，则.易得，，，， 得，. 在中，. 异面直线与所成的角为锐角， 异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式和正弦定理化简目标式，进而求出角度即可. （2）利用三角形面积公式并结合题意得到，利用余弦定理得到，再结合基本不等式求解的最小值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 由两角和差的余弦公式得， 则， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 因为的面积为，所以， 化简得，由余弦定理得， 则，可得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 得到，解得， 即的最小值为. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间. （2）已知函数有两个极值点. ①求的取值范围； ②若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）①根据函数有两个极值点，可知有两个不等的正实数根，结合换元法以及一元二次方程根的分布，即可求得答案；②化简，分离参数得，构造函数，求解函数的取值范围，即可得答案. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， ， 令，即，解得或； 令，即，解得， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【小问2详解】 ①由题意得，， 因为函数有两个极值点，又， 故有两个不等的正实数根； 令，则，则即为， 则有两个大于1的不等实数根， 故，解得； 故的取值范围为； ②可变形为， 结合①可知， 即， ， ， 则不等式恒成立， 即为在时恒成立， 由，即得， 令， 则， 则在上单调递减，故， 故. 19. 已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍. （1）求的方程. （2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）是，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解； （2）应用斜率公式结合椭圆方程计算化简求值； （3）设直线l的方程为：，联立椭圆C的方程得到韦达定理，结合弦长公式及点到直线距离再化简求出面积，再应用值域求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以的方程为. 【小问2详解】 是定值，该定值为. 理由如下： 设，，则.由，得， 同理可得， 则. 【小问3详解】 设：，，. 由，得， 则， 所以. 设，则，得， 所以直线的方程为. 设，.由得，则. 点到直线的距离，点到直线的距离. 因为，在的两侧， 所以 ， 四边形的面积 . 由，得，得， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省高三数学考试 审题单位：昆明市第一中学 审题人：顾先成 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据1，1，2，3，5，6的分位数为（ ） A. 1 B. 2.5 C. 2 D. 3 4. 在等差数列中， ，则的公差为（   ） A. -3 B. C. 3 D. 5. 在梯形中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与函数的图象相切，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 若，则的最小值为（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 8. 把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 若，，三点共线，则的最小值为2 D. 若（为坐标原点）为正三角形，则 11. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为偶函数，则__________. 13. 甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有________（用数字作答）种. 14. 已知圆，在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆内或在圆上，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为的中点. （1）证明：. （2）已知，直线与平面所成角的正切值为. ①求； ②求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求的最小值. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间. （2）已知函数有两个极值点. ①求的取值范围； ②若不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍. （1）求的方程. （2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $