精品解析：2025年甘肃省古浪县泗水初级中学九年级第二次诊断考试数学试卷

甘肃省古浪县泗水初级中学2024-2025九年级第二次诊断考试 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的） 1. 6的相反数为　　 A -6 B. 6 C. D. 2. 下列运算正确的是（      ） A. a2·a3＝a6 B. a2-a＝a C. (a2)3＝a6 D. a8÷a4＝a2 3. 函数 中，自变量x的取值范围是（   ） A x≠0 B. x＜1 C. x＞1 D. x≠1 4. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 6. 如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数的点P应落在　　 A. 线段AB上 B. 线段BO上 C. 线段OC上 D. 线段CD上 7. 一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于　　 A. B. C. D. 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F； 步骤3：连接DE，DF； 若AC=4，BC=2，则线段DE的长为　　 A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程） 11. 分解因式：_________． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 分式方程：的解是_________． 14. 如图，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE=__度． 15. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________. 16. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__． 17. 如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是__（填序号）． 18. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________. 三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，已知，． （1）在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）； （2）连接，，求的度数． 21. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？ 22. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L） （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程. 23. 某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表． 身高分组 频数 频率 152≤x＜155 3 0.06 155≤x＜158 7 0.14 158≤x＜161 m 0.28 161≤x＜164 13 n 164≤x＜167 9 0.18 167≤x＜170 3 0.06 170≤x＜173 1 0.02 根据以上统计图表完成下列问题： （1）统计表中m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整； （2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内； （3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率． 24. 小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 购买数量（件 购买总费用（元 A B 第一次 2 1 55 第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题： （1）求A，B两种商品的单价； （2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 25. 反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）． （1）求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标． 26. 如图，已知是的直径，点D为延长线上的一点，点A为圆上一点，且，． （1）求证：； （2）求证：是的切线． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上． （1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果） （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省古浪县泗水初级中学2024-2025九年级第二次诊断考试 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的） 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2. 下列运算正确的是（      ） A. a2·a3＝a6 B. a2-a＝a C. (a2)3＝a6 D. a8÷a4＝a2 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法对选项进行判断即可． 【详解】解：A．错误，结果为，不符合题意， B．错误，a2与a不是同类项，不能合并，不符合题意， C．(a2)3＝a6，正确，符合题意， D．错误，结果为，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键熟知相关计算法则． 3. 函数 中，自变量x的取值范围是（   ） A. x≠0 B. x＜1 C. x＞1 D. x≠1 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，计算即可得出答案. 【详解】依题可得：x-1≠0， ∴x≠1， 故选D. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解本题的关键. 4. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】A、∵32+42=52， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42， ∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 6. 如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数的点P应落在　　 A. 线段AB上 B. 线段BO上 C. 线段OC上 D. 线段CD上 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质，可得答案． 【详解】由被开方数越大算术平方根越大，得2<<3,由不等式的性质得：-1<2-<0.故选B. 【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小. 7. 一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】∵圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，∴圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，故圆锥底面圆的周长为4πcm，故圆锥侧面展开图的面积为S＝×4×4π＝8π(cm2).故选C. 【点睛】本题主要考查主视图、圆的周长公式和扇形的面积公式，解题的关键是得出圆锥的母线长和底面圆的半径. 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积. 【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中， ∴AO=， ∴AC=2AO=4， ∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4， 又∵O、E分别是中点， ∴OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， ∴， ∴， ∴S△COE=S△CAD=×4=， 故选A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键. 9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F； 步骤3：连接DE，DF； 若AC=4，BC=2，则线段DE的长为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据角平分线性质得到∠ECD＝∠DCF＝45°，再根据垂直平分线的性质得到CE＝DE，∠ECD＝∠EDC＝45°，进而得到∠CED＝90°，证得DE∥CB，所以△AED∽△ACB，设ED＝x，根据相似三角形对应线段成比例列式求出x即可. 【详解】∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCF＝45°， ∵MN垂直平分CD， ∴CE＝DE， ∴∠ECD＝∠EDC＝45°， ∴∠CED＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴DE∥CB， ∴△AED∽△ACB，， 设ED＝x，则EC＝x，AE＝4－x， ∴， 解得x＝， 故选D. 【点睛】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，相似三角形的性质，解题的关键是证明DE∥CB. 10. 如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、轴对称图形性质、相似三角形的性质．解答关键是可证明，进而可证明，由，分别表示、、，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示的面积． 详解】设，则， 由折叠，，则， ∵， ∴，， ∵F、B关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程） 11. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 分式方程：的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分母的最简公分母，在方程两边同时乘以最简公分母约去分母将分式方程化为整式方程求解，最后检验. 【详解】解：方程变形得： 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为： 【点睛】本题主要考查解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤. 14. 如图，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE=__度． 【答案】130 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质求出∠AOC和∠BOC的大小，再利用三角形外角的性质求出∠DCP的大小，根据平行线的性质求出∠PCE的大小，进而可得∠DCE的大小． 【详解】解：∵∠AOB＝40°，OP平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝20°， 又∵CD⊥OA于点D，CE∥OB， ∴∠DCP＝90°＋20°＝110°，∠PCE＝∠POB＝20°， ∴∠DCE＝∠DCP＋∠PCE＝110°＋20°＝130°． 【点睛】本题考查了相交线与平行线的相关知识，以及角平分线的性质、垂线和三角形内角和、外角相关知识，解题的关键是求出∠DCP和∠PCE的大小． 15. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________. 【答案】120 【解析】 【详解】【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，根据题意列出分式方程，解之即可. 【详解】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵， 依题可得：， 解得：x=120， 经检验x=120是原分式方程根， 故答案为120. 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，弄清题意，找出等量关系是解题的关键. 16. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】由题意可知：△＝4m2−2（1−4m）＝4m2＋8m−2＝0， ∴m2＋2m＝， ∴（m−2）2−2m（m−1）＝−m2−2m＋4＝−＋=， 故答案为. 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型． 17. 如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是__（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】根据②作条件，先证明四边形ADCE是平行四边形，再利用邻边相等，得到四边形ADCE是菱形. 【详解】解：当BA=BC时，四边形ADCE是菱形． 理由：∵AE∥CD，CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵BA=BC， ∴∠BAC=∠BCA， ∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， ∴四边形ADCE是菱形． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的证明，解题关键是熟记菱形的性质. 18. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________. 【答案】+π 【解析】 【详解】【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案. 【详解】在Rt△AOB中，∵A（1，0），∴OA=1， 又∵∠OAB＝60°， ∴cos60°=， ∴AB=2，OB=， ∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变， ∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积： S==π， 故答案为π. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键. 三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的除法运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）分别计算乘方，零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行实数的混合运算； （2）先因式分解，再除法转化为乘法，再进行约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，已知，． （1）在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）； （2）连接，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论； （2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1， 即为所求． 【小问2详解】 如图2， 连接，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图，三角形的内切圆的性质，四边形的内角和公式，圆周角定理，解本题的关键是作出三角形的内切圆． 21. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？ 【答案】450m. 【解析】 【分析】若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， ． 答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质. 22. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L） （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程. 【答案】 （1）y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）；（2）该辆汽车最多行驶的路程为300. 【解析】 【详解】【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）； （2）根据题意可得不等式：40-x≥40× ，解之即可得出答案. 【详解】（1）由题意得：y=40-x，即y=40-x（0≤x≤400）， 答：y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）； （2）解：依题可得：40- x≥40×，∴-x≥-30， ∴x≤300. 答：该辆汽车最多行驶的路程为300km. 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键. 23. 某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表． 身高分组 频数 频率 152≤x＜155 3 0.06 155≤x＜158 7 0.14 158≤x＜161 m 0.28 161≤x＜164 13 n 164≤x＜167 9 0.18 167≤x＜170 3 0.06 170≤x＜173 1 0.02 根据以上统计图表完成下列问题： （1）统计表中m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整； （2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内； （3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率． 【答案】(1) 14，0.26．补图见解析；(2) 161≤x＜164．（3）． 【解析】 【分析】（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可； （2）根据中位数的定义即可判断； （3）画出树状图即可解决问题； 【详解】解：（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50， ∴m=50×0.28=14，n==0.26． 频数分布直方图： （2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内， （3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示： 所以P（两学生来自同一所班级）=． 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数． 24. 小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 购买数量（件 购买总费用（元 A B 第一次 2 1 55 第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题： （1）求A，B两种商品的单价； （2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；(2) 当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件． 【解析】 【分析】（1）列二元一次方程组，用代入法或加减法解方程组即可； （2）将题目转化为一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：（1）设种商品的单价为元，种商品的单价为元，根据题意可得： ， 解得：， 答：种商品的单价为20元，种商品的单价为15元； （2）设第三次购买商品种件，则购买种商品件，根据题意可得： ， 得：， 当时所花钱数最少，即购买商品8件，商品4件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识，解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤． 25. 反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）． （1）求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1); B点坐标为（3，1）；(2) P点坐标为（，0）． 【解析】 【分析】（1）先把A点坐标代入y= 求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标； （2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【详解】（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3， ∴反比例函数解析式为y=； 把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1， ∴B点坐标为（3，1）； （2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3）， ∵PA+PB=PA′+PB=BA′， ∴此时PA+PB的值最小， 设直线BA′的解析式为y=mx+n， 把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得， ∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5， 当y=0时，2x﹣5=0，解得x=， ∴P点坐标为（，0）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键 ． 26. 如图，已知是的直径，点D为延长线上的一点，点A为圆上一点，且，． （1）求证：； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，由是的直径，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴OA⊥AD， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上． （1）b =_________，c =_________，点B坐标为_____________；（直接填写结果） （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】（1），，（-1,0）；（2）存在P的坐标是或；（3）当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，） 【解析】 【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标； （2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可； （3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标． 【详解】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=﹣2，c=﹣3， ∴抛物线的解析式为． ∵令，解得：，， ∴点B的坐标为（﹣1，0）． 故答案为﹣2；﹣3；（﹣1，0）． （2）存在．理由：如图所示： ①当∠ACP1=90°．由（1）可知点A的坐标为（3，0）． 设AC的解析式为y=kx﹣3． ∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1， ∴直线AC的解析式为y=x﹣3， ∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3． ∵将y=﹣x﹣3与联立解得，（舍去）， ∴点P1的坐标为（1，﹣4）． ②当∠P2AC=90°时．设AP2解析式为y=﹣x+b． ∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3， ∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3． ∵将y=﹣x+3与联立解得=﹣2，=3（舍去）， ∴点P2的坐标为（﹣2，5）． 综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）． （3）如图2所示：连接OD． 由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． 由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC， ∴D是AC的中点． 又∵DF∥OC， ∴DF=OC=， ∴点P的纵坐标是， ∴，解得：x=， ∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $