上海市上海中学2025-2026学年高二上学期10月阶段练习数学试题

高二上学期数学阶段练习4 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共5页 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 直线：的斜率为__________. 2. 若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 3. 已知点P(2,4)，点Q(-3,-2)，直线y=kx-k+1与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 4. 已知数列为无穷等比数列，1，且公比q满足0＜|q|＜1，则数列所有奇数项之和的取值范围为__________. 5．已知点A(3,0)，椭圆B：的右焦点为F，若线段AF的中点C恰好在椭圆B上，则椭圆B的长轴长为_________. 6. 已知过圆柱的轴的平面与圆柱形成的截面面积为16，当截面上两点距离的最大值最小时，圆柱的底面积为__________. 7. 以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形的四条边的方程为__________. 8. 小马虎同学求直线l1：2 x+2y+4=0和直线l2： x+y+3=0之间的距离，其中 中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将l1转化为： x+y+2=0，由3-2=1，求得l1和l2之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则 中的数字为__________. 9．已知实数a,b,c成等差数列，则点P (312,416)到直线ax+by+c=0的最大距离是 ． 10．直线mx+ny-1=0(m,n＞0)截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 11. 已知，则的值为 ．（保留2位有效数字，用科学计数法表示） 12. 已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点， 的取值范围为__________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 直线AG ⊂ 平面AEF是存在实数a,b，满足 的（ ） A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．既非充分也非必要条件         D．充要条件 14．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（     ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 15．已知严格单调数列，已知直线与直线平行，则数列（    ） A．可能为等差数列 B．一定为等差数列 C．可能为等比数列 D．一定为等比数列 16．新定义：曲线为椭圆的“倒椭圆”已知椭圆，它的倒椭圆为，过上任意一点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．与点P的位置关系 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，每小问均为7分） 已知为椭圆的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线的斜率之积为． （1）求：椭圆C的标准方程； （2）若，求面积的最大值． 18．（本题共14分，（1）为6分，（2）小问均为3分，（3）小问为5分） 国漫《哪吒之魔童闹海》已成为全球单一市场票房榜第一名。某天，哪吒在东海沙滩的斜坡（坡度为15°）上练习乾坤圈投掷，土地公提醒：“斜坡会缩短射程！”，海妖趁机在斜坡上竖直布设了冰盾。小张同学对该情景的相关数据做出了假设和建模分析，他以哪吒为原点，斜面所在直线为x轴建立平面直角坐标系： 已知： ①：乾坤圈抛出点高度为1.2m，最高点离地3m ②：抛物线顶点横坐标为6m 【坡度信息】：小张同学利用30°和45°这两个已知的特殊角的三角比来推导坡比 两角和差法： 半角法： （1）分别利用小张同学两种方法的思想与30°和45°这两个已知的特殊角的三角比推导cos15° （2）若乾坤圈恰好能集中冰盾的底部，求：冰盾距离哪吒的直线距离（保留2位小数） 19．（本题共14分，（1）和（3）小问5分，（2）小问4分） 数学之美，在于它让看似毫不相干的事物在某个瞬间产生精妙的联结． （1）求：的充要条件； （2）求：点P(m,n)关于直线ax+by+c=0的对称点的坐标； （3）求：函数f (x)． 20．（本题共18分，每小问均为6分） 如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为． 已知点Q为双曲线右支上的一点，，且∠． （1）求：双曲线的离心率e； （2）若，，的面积满足，求：的值； （3）斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，MA⊥MB恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 21．（本题共18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分） 新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”． （1）求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； （2）设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“2”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； （3）如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由． 第 1 页 共 2 页 上海中学 2025学年 高二上学期阶段练习4 数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案： 填空题（1~12题） 1. 0 2. (-∞，-4)∪(4,﹢∞) 3. (-∞,∪[3,﹢∞) 4. (1, ﹢∞) 5. 4 6. 4 7. |x|+|y|= 8. 0 （提示：） 9. 233 （提示：过定点） 10. 9 11. -1.1×10-7 12. （提示：设倾斜角为，运用辅助角公式化简） 选择题（13~16题） 13. D 14. D 15. C 16. B 解答题（17~21题） 17． （1）设，则， 又，代入上式可得：， 又，解得， ∴椭圆C的标准方程为：； （7分） （2）设直线的方程为：， ，联立，化为：， ∴， ∵，∴， ∴，代入可得：， ∴的面积， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1．（7分） 18． （1）分别代入两角和差公式（2分）和半角公式（2分）推导即可，可得cos15°（3分） （2）9.23m（≈9.238，但此时为了保证可以击中冰盾，应当使用退一法而不是四舍五入，若写9.24m扣1分）（7分）提示：通过斜率用点斜式求直线解析式，与抛物线联立即可 19．（1） （3+1分） （） 综上： （1分） （2） （计算量较大，耐心计算即可） （4分） （3）[0,5] 提示：结合（1）和（2）的思路求该函数的值域 （5分） 法一：问题可转化为：两平行直线和之间距离的范围（将函数视为两平行直线间距离公式），则两直线分别过定点(2,0)和(-1,4)，则最大距离为两定点距离为5，当m=，两直线重合，即距离为0 法二：由于和均在[-1,1]之间，可设，则原函数变为的值域，即[0,5] 20．（1） （6分） （提示：使用余弦定理） （2）设圆的半径为，由，得， 所以，即，解得．（6分） （3）假设存在，设点，使， 由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入， ，即有两个不等正根， ，（2分） ，所以，（1分） ，对恒成立，（1分） 所以，解得，即， 当直线斜率不存在时，直线方程，此时，（1分） ，仍然满足， 所以这样的点存在，.（1分） 21． （1） 由定义设三边a≤b＜c，则正减值d=c-b （1分），解三角形可表示（1分） 解：a≤b 可得：， （1分） 当正减值最大为 时： 此时三角形为等腰直角三角形，余减值为0最小。（1分） 故当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小。（1分） （2） 既不充分也非必要条件（2分） 必要性：当三边成等差数列时，设a≤b＜c，可得c-a=b-a（利用b为等差中项）（1分），若2，则，显然不一定为1，必要性不成立（1分）；当时，，则c-a=b-a+，k取整数，不一定为0（2分），故此时三边成等差数列不一定成立，充分性不成立。 （3）联结OT（1分），则两三角形为△OFT和△OTM（1分） 因为点分别是和的中点，所以，（2分） =| （2分） 综上：△OFT的余减值和△OTM正减值大小相同（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $