精品解析：江苏省南京市临江高级中学2025-2026学年高三上学期10月段考数学试题

南京市临江高级中学2025-2026学年上学期高三年级10月段考 （数学）试题 命题人：步燕芳 审核人：甘春 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再利用并集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：B 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，化简等式左侧，结合复数相等的概念即可. 【详解】设，则， 则，因此． 故选：A． 3. 已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据成等比数列可得，进而结合等差数列的基本量计算求解即可. 【详解】由成等比数列，则，又， 则，解得. 故选：B． 4. 若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，则. 故选：C. 5. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数图象的对称性列式求解. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，得， 则，所以当时，取得最小正值为. 故选：B 6. 定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性及对数运算性质得，再由对称性得且，结合已知指数函数求函数值. 【详解】由周期性知， 而，则，即， 所以， 由的图象关于轴对称，则. 所以. 故选：A 7. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 56 B. C. 63 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 8. 在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答. 【详解】中 ，， 因角B的内角平分线的长为1，由得：， 即，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式、下四分位数的定义，结合相关系数的性质、独立性检验原理逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项论述正确； B：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列1，3，4，5，7，9，11 ，16 ， 因为，所以数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为，因此本选项论述正确； C：根据相关系数的性质可知越接近1，线性相关程度越强，所以本选项论述不正确； D：当，有的把握能推断零假设不成立，所以本选项论述不正确， 故选：AB 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A. 令判断；B.利用不等式的基本性质判断；C.令判断；D. 令判断. 【详解】A. 令，则，故错误； B. 因为，所以，所以，故正确； C.令，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以与大小不定，故错误； D. 令，则，当时，，在上单调递增， 则，即，故正确. 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值为3 B. 当且仅当 C. 过点恰能作曲线的3条切线 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用导数研究函数的单调性、极值判断A；由判断B；先确定点不在函数图象上，再设切点并写出切线方程，结合点在切线上得到方程求切点横坐标个数判断C；由已知得判断D. 【详解】由题设，则有或，有， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为，A对， 由，可得，B对， 由，则点不在函数的图象上， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线为，又切线过， 所以，整理得， 所以，可得或， 所以，共对应3个不同切点，即有3条不同切线，C对， 若，可得， 所以，则或，D错. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，然后根据导数的几何意义结合条件即可得. 【详解】因为，所以，， 所以，所以切线方程为，即， 故答案为： 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像的平移规律求出解析式，由为偶函数，结合正弦型函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，故，可得， 时，时，可得的最小值为. 故答案为： 14. 已知数列满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 . 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表： 单位：人 物理成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 （1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为学生的数学成绩与物理成绩有关联 【解析】 【分析】（1）根据列联表以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）先进行零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 由题可知，数学成绩优秀者有250人，在这250人中物理成绩不优秀的有160人， 所以. 【小问2详解】 零假设为：学生的数学成绩与物理成绩无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生的数学成绩与物理成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 16. 在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小； （2）求取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理求得，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，根据为锐角三角形，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 由（1）知，可得， 得， 因为为锐角三角形，可得 ，即，解得， 所以，可得，所以 即，所以的取值范围为． 17. 记等差数列的前n项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前n项和为，求； （3）若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本运算求解即可； （2）化简得，利用裂项相消法求解即可； （3）由题意可得，根据的单调递性，求出其值域，即可得实数m的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d， 则, 解得， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 可得， 所以 ； 【小问3详解】 因，且， 所以， 易知单调递减， 所以， 所以， 故实数m的取值范围为. 18. 在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角是直二面角，求的长； （3）在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线得到线线平行，从而证明线面平行； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系．根据题意设出点的坐标，并得到未知数的关系.借助空间向量求得平面和平面的法向量，结合二面角得到向量的数量积，从而得到未知数的关系，然后结合两个关系式解得未知数，即可求得的长； （3）由棱锥的等体积转换得，由中点得到，再等体积转换为，然后由三棱柱和三棱锥的体积关系，即可求得结果. 【小问1详解】 连接，在矩形中得且为的中点， 在中， 为的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，，，，且， 则，． 设平面的一个法向量， 则取得． 同理可取平面的一个法向量． 因此，得． 解得． 所以． 【小问3详解】 由题可知， ． 19. 已知是函数的极小值点. （1）求实数的值； （2）讨论函数在区间内的零点个数. 【答案】（1） （2）零点个数为4. 【解析】 【分析】（1）求导，再由求解； （2）根据为偶函数，只需考虑的情形，利用导数法判断. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 所以， 因为是函数的极小值点， 所以，解得， 当时，，当时，， 当时，，符合题意，故. 【小问2详解】 因为为偶函数， 故只需考虑的情形； 由（1）， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 因为， 所以存在，使得； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因为， 所以存在，使得； 由对称性可知，函数在区间内的零点个数为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市临江高级中学2025-2026学年上学期高三年级10月段考 （数学）试题 命题人：步燕芳 审核人：甘春 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（    ） A. B. 2 C. D. 5. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（ ） A B. C. D. 6. 定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 56 B. C. 63 D. 8. 在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值为3 B. 当且仅当 C. 过点恰能作曲线的3条切线 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为__________. 14 已知数列满足，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表： 单位：人 物理成绩 数学成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 （1）记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值； （2）依据小概率值独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 17. 记等差数列前n项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前n项和为，求； （3）若恒成立，求实数m的取值范围. 18. 在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角是直二面角，求的长； （3）在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 19. 已知是函数的极小值点. （1）求实数的值； （2）讨论函数在区间内的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $