精品解析：山东省济宁市济宁学院附中集团北湖校区2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试题

数学阶段模拟测试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7或 5. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的6倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 扩大为原来的3倍 6. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 8. 若常数M，N满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 已知分式（、为常数）满足表格中的信息：的值为（ ） 的值 分式的值 不存在 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 12. 已知，那么分式的值为_____． 13. 若分式的值为，则的值为______． 14. 分式与的最简公分母为_____． 15. 用，，表示的三边，若的周长是7，，则的值为_____． 三、解答题（共7小题） 16. 将下列各式分解因式： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 20. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 21. 观察下列各式：，，，，，… （1）请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． （2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 观察得出：两个因式分别为与 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ②（拆项法） ③________． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学阶段模拟测试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 3. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解： A中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； B中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； C中，是两数（或式）的平方差，故能用平方差公式分解因式，故符合题意； D中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； 故选：C． 4. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方式的特点，根据完全平方式的结构，将已知多项式与标准形式对比，确定参数值即可． 【详解】解：多项式 为完全平方式， ∴， 解得：或； 的值为7或， 故选：D． 5. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的6倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的3倍后，变为： 故选：D． 6. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不为零，得出，求出即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故选：C． 7. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 8. 若常数M，N满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 9. 已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先将的值进行化简，再进行比较． 【详解】解： ，， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查异分母的分式的加减．熟练掌握异分母分式加减的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 10. 已知分式（、为常数）满足表格中的信息：的值为（ ） 的值 分式的值 不存在 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值为的条件，分式的求值，先根据分式无意义和分式的值为的条件求出常数 、的值，进而得出分式，再把代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式的值不存在， ∴， ∴， ∵当时，分式的值为， ∴， ∴， ∴分式为， 当时，， 故选：． 二、填空题（共5小题） 11. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 12. 已知，那么分式的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程化简得到，然后利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：由得：， 则． 故答案为：7． 13. 若分式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 14. 分式与的最简公分母为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，根据求两个分式分母的最小公倍数，数字部分取最小公倍数，字母部分取最高次幂即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：分式与的最简公分母为， 故答案为 ：． 15. 用，，表示的三边，若的周长是7，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值． 利用三角形周长，将原表达式转化为关于、、 的形式，再结合已知条件，通过代数变换求解． 【详解】设，则 ，，， 则， 又，同理，， 所以， 由已知，且，，， 得， 代入得原式． 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 16. 将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握各种分解方法是解题的关键． （1）可先利用整式乘法公式化简，最后利用平方差公式分解即可； （2）可先对整式进行整理可先提公因式，然后用平方差公式分解再整理即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算的通分与约分规则以及四则运算法则是解题的关键． （1）按照运算顺序先处理乘方，再将除法转换为乘法，最后约分化简； （2）先找到最简公分母通分，再进行分式的加减运算即可； （3）首先将除法转化为乘法，约分后通分并计算减法； （4）先计算括号内的分式加法，再进行分式的除法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先计算括号里的同分母分式的减法，再将除法转化为乘法，计算分式的乘法，然后通过零指数幂，负整数指数幂求出的值，再代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 由， 原式= ． 19. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将有意义的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴整数的值为，，， ∵， ∴， ∴原式． 20. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 21. 观察下列各式：，，，，，… （1）请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． （2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，分式的规律性问题，弄清题中的拆项法是解题的关键． （）根据给出的式子，写出用x表示的一般规律即可； （）利用找出的一般规律进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 观察得出：两个因式分别为与 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ②（拆项法） ③________． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）①，②，③；（2）7 【解析】 【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $