精品解析：河北省保定市2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题

2025年高三摸底考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定集合A的元素，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 而，故， 故选：A 2. 密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度的定义求解120密位占6000密位的比例再乘以即可. 【详解】由题意可得120密位等于. 故选：C 3. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的图像与性质即可求解. 【详解】由于，，，所以； 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数，根据奇函数性质即可求解. 【详解】， 设，定义域为R，则， 所以，即， 所以.因为，所以. 故选：A 5. 设，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式化为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为9. 故选：B 6. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】因为，所以， 两式相减可得， 所以，所以， 当时，， 当时，符合的情况， 所以，所以， 所以， 故选：C. 8. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将切化弦，整理得到，，利用两角和差的正弦公式得到，即，代入的值，得到，将中的角改为，利用两角和差的正弦公式得到，代入的值，，将所求中的角改写为，代入计算即可得解. 【详解】，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：B. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中是虚数单位），为的共轭复数，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的运算法则化简复数，并求出的共轭复数，即可判断. 【详解】已知复数 ，其中  是虚数单位。首先简化 ： ， 因此，，其共轭复数 . 选项 A： ，虚部为 1，故A正确； 选项 B： ，故B错误； 选项 C： ，对应点  位于第四象限，故C正确； 选项 D：代入 得： 满足方程，故D正确. 故选：ACD 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 对任意成立 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】首先应用辅助角公式及图象平移得，再由各项描述并结合正弦函数的性质及其图象依次分析各项的正误. 【详解】由，其图象向左平移， 所以，A对， 由，则，显然在上不单调，B错， 由， 故对任意成立，C对， 由，则， 则在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为， 要使在上有且仅有一个实数根，则，D错. 故选：AC 11. 数列满足函数，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据题意可得，且.对于A：结合等比数列分析判断；对于B：分析可知数列是以首项，公差为的等差数列，即可得，即可判断；对于C：根据结合分析判断；对于D：根据结合并项求和整理可得，即可得结果. 【详解】因为， 则， 又因为，则， 且，则. 对于选项A：因为，， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 可得， 可知数列是以首项，公差为的等差数列， 则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得 ， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，且，， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论的取值范围，代入解析式即可求出答案. 【详解】当时，； 当时，， 综上所述：或. 故答案为：或. 13. 正四棱台的下底面棱长是上底面棱长的2倍，高为，侧棱长为3，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出上底面的棱长，再利用棱台的体积公式计算即可得. 【详解】 设上底面棱长为，则下底面棱长为， 则有，解得， 故该四棱台的体积. 故答案为：. 14. 如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意以为基底表示，然后利用平方的方法进行化简得，结合基本不等式以及余弦函数单调性可得时，取最小值，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则， 又，，所以， 即，当且仅当即时等号成立， 此时，由函数在上单调递减知， 故当时，取最大值，取最小值， 此时， 的面积为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 则 . 16. 如图，在直三棱柱中，底面为边长为2的等边三角形，点为线段上一点，且满足. （1）证明：点为线段中点； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 三棱柱为直三棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为为等边三角形， 所以为线段的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理可得，结合题意即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求两个平面法向量夹角的余弦值，继而即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作平面的垂线，并以该直线作为轴， 以为原点，以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系， ，， 所以，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， ， 则， 设平面的法向量为， ， 则， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角为. 17. 如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求四边形的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简，结合两角和的正弦公式即可得到答案； （2）利用余弦定理可求出的长，继而求出的值，利用三角形面积公式，即可求得答案； （3）通过作辅助线，利用三角形相似，求出四边形的边的长，继而求出的长，即可求得答案. 【小问1详解】 因为在中，， 故，而， 故， 即，结合， 可得，而； 【小问2详解】 由于， 故， 则； 又，故，（为锐角） 所以 ， 故； 【小问3详解】 延长交于点E， 因为，故，又，故， 故，故为等腰三角形，则，则； 又，则， 结合，可得∽， 故， 在中，， 即，解得， 又，结合（1）知， 故为正三角形，故， 故四边形的周长为. 18. 已知，其中. （1）当时，求证：是函数的极小值点； （2）求在上的最小值； （3）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，，函数的定义域为， 则， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵， ∴当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增， ∴是函数的极小值点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式及其定义域，求导数，讨论导数的单调性得到唯一的零点，由极值点定义得证. （2）求导数，从而得到函数的单调区间，找到端点和极小值点，从而得到函数在对应区间上的最小值. （3）由（2）可知在上的最小值，将题意进行转换.构造函数并求导数，由可知函数存在极小值点，表示出极小值得到新的不等式恒成立，结合极值点等量关系化简不等式.再构造函数并求导数，由得到函数的单调性以及其存在的唯一零点，从而求得满足不等式的的取值范围，由的取值范围求得参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， ，，， ∴在上的最小值为. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，. 对任意，总存在，使得成立， 即对任意，使得恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 由（1）可知在上单调递增， 又∵时，，时，， 故一定存在，使得， 即当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴， 又∵，即， 则恒成立. 令，， 则，， ∴，∴， 即函数在上单调递减，且， ∴， 则 令，，故函数在上单调递减， ∴. 【点睛】关键点睛，本题考查导数的应用.利用隐零点得到函数的最小值是本题的关键，然后构造函数解决不等式恒成立问题，从而求得结果. 19. 函数. （1）求图象在点处的切线方程； （2）已知正项数列满足，且. 证明：（i）； （ii）. 【答案】（1） （2） （i）由题意知，, 要证：等价于 即证： 记 恒成立， 所以函数在上单调递增， 又， 所以恒成立， 所以， 所以, 所以，则成立. （ii）先证：， 记 则恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以恒成立， 所以恒成立， 即 所以， 所以， 当时，， 所以； 再证：, 由（i）知 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以 综上所述：成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求结合，则可写出切线方程； （2） （i）把变形为，等价于，则可变为，构造函数，利用导函数证明恒成立即可； （ii）由（i）知可变形为，由此可证；构造函数，利用导函数可证即，由此可证. 【小问1详解】 由题意知，切点， ， 所以，， 所以在点处的切线方程为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三摸底考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（ ） A. B. C. D. 3. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 5. 设，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中是虚数单位），为的共轭复数，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 对任意成立 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 11. 数列满足函数，其中，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数，若，则实数的值为__________. 13. 正四棱台的下底面棱长是上底面棱长的2倍，高为，侧棱长为3，则该四棱台的体积为__________. 14. 如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，底面为边长为2的等边三角形，点为线段上一点，且满足. （1）证明：点为线段中点； （2）求平面与平面的夹角. 17. 如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求四边形的周长. 18. 已知，其中. （1）当时，求证：是函数的极小值点； （2）求在上的最小值； （3）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 函数. （1）求图象在点处的切线方程； （2）已知正项数列满足，且. 证明：（i）； （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $