精品解析：北京市昌平区第一中学2026-2027学年度第一学期高三年级9月学情调研数学试题

北京市昌平区第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级9月学情调研 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得到，所以， 又是增函数，所以当时，，则， 所以. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 则． 3. 已知向量，，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为且与垂直， 故，故， 故选：A 4. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】. 故选：B. 5. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，解得，又， 所以. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. 7. 将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：函数图象向左平移个长度单位，得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）得到. 考点：三角函数图象变换. 【易错点晴】三角函数图象变换，关键在于不管怎么变，都是变，其它系数保留；熟记左加右减，并且要看清题意到底是谁变换成谁.本题中，平移的时候是没有变到的，所以必须提取出来.另外，如果既平移，又伸缩，就必须确保每一次都是变. 8. 设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 9. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解. 【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以，则，解得， 故选：C 10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按，和三种情况分类讨论，将零点个数问题转化为一元二次方程在特定区间内解的个数问题即可求解. 【详解】当时，，所以在区间上无零点； 当时，，所以若在区间内存在零点，则， 当时，， 若即，则， 所以在区间内有两个零点，此时，矛盾； 若，即或时，， 所以在区间内有一个零点， 又因为，有两个零点， 当时，或，或， 此时的另一个零点为或，均不在区间内， 当时必须且只需即可（如图所示）， 即，即，解得， 综上实数的取值范围为， 故选：C 第Ⅱ卷（选择题 共40分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义与二次根式的性质列不等式组，解不等式即可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 【答案】9 【解析】 【详解】设，则，解得. 又，所以，由此可知. 所以， 时，，时，， 所以时，数列的前项和最大. 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点，，点满足，，的最大值为________，的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设出，结合题意并利用数量积的坐标运算得到，将和用三角函数表示出来，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】设，且由题意得，， 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得， 则，得到， 可得， 其中，由余弦函数性质得，则的最大值为， 由题意得，， 则 ， 由余弦函数性质得，则，可得， 即的取值范围是. 14. 设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】分析每一段函数的零点情况，再结合函数的性质进行求解. 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，的范围是. 15. 已知数列满足（），则下列说法正确的是 ． ①若且，则单调递减； ②若存在无数多个使得，则或； ③当时，存在使； ④当时，对任意，都有． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对①先证，然后再排除即可； 对于②将转化为，再分类讨论可得； 对于③由数列的单调性可得且，故可判断； 对于④通过对递推关系变形，再裂项求和及数列的单调性可判断范围. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立. 对于①：因为且，由， 得，即. 若，则，，解得或， 与条件且矛盾，所以. 同理，即. 若，则，，解得或，与矛盾. 若，则，即， 此方程的判别式，方程无实数解，故，所以. 依次类推，可得，即单调递减，所以①正确； 对于②：若，则，即，解得. 所以若存在无数多个使得等价于存在无数个使得. 若，则.由，得，依次类推，得，符合题意； 若，则，同理得，依次可得，符合题意. 若且，则由选项①可知数列单调递减，即， 所以不存在无数个使得，所以②正确； 对于③：由，令是开口向下， 对称轴为的抛物线，且. 因为，所以，即，再由①知数列单调递减， 所以，而，所以不存在使.故③不正确； 对于④：由， 所以 . 当时，. 又由结合①可知数列单调递减，且，所以， . 所以，即.所以④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数．最小正周期为，最大值与最小值之和为0． （1）求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【详解】（1）， 因此， 由最小正周期，得． 的最大值为，最小值为，由题意得： 解得，故． （2）令，， 解得，， 即的单调递增区间为，． 因为在上是增函数，取，得，故实数的最大值为． 17. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和． （3）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）1． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以 即． （2），因此 . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 18. 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选①或③，；选②，三角形不存在 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得. （2）选①，利用同角公式及和角的余弦求出并判断，再利用正弦定理求出；选②，利用余弦定理求出，进而求出，再利用余弦定理计算并判断；选③，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出及并判断. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 选择条件①：，则， ， 为钝角，符合题意，而，则存在，此时， 由正弦定理得. 选择条件②：，由余弦定理得， 解得，由为钝角，得，于是， 此时与矛盾，不存在，因此②不可选. 选择条件③：的面积为，则，解得， 由余弦定理得，则， 由为钝角，得，于是，此时，符合题意，存在， 所以. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）． （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义可得； （2）分和两种情况，利用导数讨论即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为． ，即切点为． 对求导得：． 则切线斜率． 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由可知： 当时，定义域为； 当时，定义域为． 对求导得：． 1．当时，． 因为，所以恒成立． 所以在上单调递减． 2．当时，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 20. 设函数． （1）当，时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当，时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若，求证：关于的方程在上无解． 【答案】（1）1 （2）（ⅰ）极小值，无极大值． （ⅱ）证明： 当时，等价于， 两边同除以得：， 令， ， 令，则， 由，得， 当时，，故， 因此在上单调递增，又，故时，即， 因此在上单调递增，又，故时， 即恒成立，原方程无正实根． 故时，方程在上无解． 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）（i）由导数分析单调性可得极值； （ii）将方程等价于，两边同除以，构造函数求导后再令，再利用导数分析单调性和最值可证. 【小问1详解】 当，时，， ， ， 所以曲线在处的切线的斜率为1. 【小问2详解】 （ⅰ）当，时， 令，得，解得 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增； 故在处取极小值， 无极大值． （ⅱ）略 21. 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． （1）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； （2）等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； （3）数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据新定义的理解即可得出结果； (2)根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围； (3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，将问题转化为对恒成立，对k的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）. 【小问2详解】 由题意，， 即 ，则. 又数列符合题意，所以的最大值为3. 【小问3详解】 设长度为的“等比伴随数列”的公比为， 则对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立. 当时，有； 当时，，即； 当时，有恒成立， 即当时，. 令当时，， 所以在单调递减，所以当4时，. 同理，令，则在上单调递减， 即4时，. 则，即. 令，当时，， 所以在上单调递减. 又由于， 所以，存在(6，7)，使得， 所以的最大值为6． 【点睛】对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市昌平区第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级9月学情调研 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 4. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 A. B. C. D. 8. 设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（选择题 共40分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______． 12. 若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点，，点满足，，的最大值为________，的取值范围是________. 14. 设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 15. 已知数列满足（），则下列说法正确的是 ． ①若且，则单调递减； ②若存在无数多个使得，则或； ③当时，存在使； ④当时，对任意，都有． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数．最小正周期为，最大值与最小值之和为0． （1）求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的最大值． 17. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和． （3）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 18. 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 20. 设函数． （1）当，时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当，时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若，求证：关于的方程在上无解． 21. 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”． （1）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”； （2）等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值； （3）数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $