精品解析：甘肃省酒泉市第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年甘肃省酒泉市二中九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 3. 二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式即可． 本题考查了二次函数图像与几何变换，利用了平移的规律，解决本题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：二次函数的图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是． 故选：A 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 （ ） A. ≥ B. ≤ C. ≥ D. ≤ 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根 ∴△≥0，即1-4m≥0， 解得≤， 故选D． 5. 如图，为的直径，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质和弧、弦、圆心角的关系直接判断即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴, ∴，故A正确； ∵ ∴,故D正确； ∵OD=OB, ∴, ∴，故C正确； 不能判断，故B错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的性质和弧、弦、圆心角的关系，解题关键是熟知这些性质，准确进行判断． 6. 下列判断正确的是（　　） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意； B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意； D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 7. 如图，是的直径，半径的垂直平分线交于，两点，，．则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OC，AD，根据圆周角定理得到∠AOD=60°，即可得到△AOD是等边三角形，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，即可证得四边形ACOD是菱形，解直角三角形求得AC=2，即可求得阴影部分面积=扇形OAD的面积． 【详解】解：连接OC，AD ∵∠ACD=30°， ∴∠AOD=60°， ∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形， ∵AB⊥CD， ∴OA平分CD， ∴CE=DE=CD=， ∵CD垂直平分OA， ∴四边形ACOD是菱形， 在Rt△ACE中，AC==2， ∴阴影部分面积=扇形OAD面积= 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式，垂径定理，证得阴影部分面积=扇形OAD的面积是解题的关键． 8. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 已知函数是二次函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； 【详解】解：∵函数二次函数 ∴，解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于0． 10. 坐标平面内的点P(m，﹣2)与点Q(3，n)关于原点对称，则m＋n＝__． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于原点对称点的性质得出m，n的值进而得出答案. 【详解】解：∵点P(m，-2)与点Q(3，n)关于原点对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴m＋n＝﹣3＋2＝﹣1. 故答案为：﹣1. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 11. 已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得到-2m=1，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 根据题意得-2m=1，解得m=，即方程的另一个根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 12. 正四边形的边长为4，则它的边心距是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正四边形的边心距等于边长的一半即可得结论． 【详解】解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示： ∵四边形ABCD是正四边形， ∴∠AOB=360°÷4=90°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等腰直角三角形，且OE⊥AB， ∴OE=AB=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质． 13. 如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案． 【详解】解：观察发现：图中阴影部分面积＝S矩形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率，以及矩形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 14. 二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 【详解】解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 15. 如图，在矩形中，，．将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，再结合勾股定理解题即可． 【详解】解：由旋转的性质得到， 在中，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查旋转的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 铅球运行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系满足，此运动员能把铅球推出__________． 【答案】18 【解析】 【分析】运动员把铅球推出的距离即为y＝0时x的正值，据此求解可得答案． 【详解】解：当y＝0时，， 整理，得：x2﹣16x﹣36＝0， 解得x1＝18，x2＝﹣2， 所以此运动员能把铅球推出18m， 故答案：18． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解运动员把铅球推出的距离即为y＝0时x的正值． 17. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对圆周角的度数为_____． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】如图，连接圆心和弦的端点，可得等边，则圆心角为60°，再根据圆周角定理即可求出结果． 【详解】解：如图，由， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对优弧上的圆周角，弦所对劣弧上的圆周角． ∴此弦所对圆周角的度数为30°或150°． 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，属于基础题型，解本题需注意：在圆中，弦所对的圆周角是两个，它们互为补角． 18. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切．若点的坐标为，则圆心的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA=AB=4，DM=8-R，AM=R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可． 【详解】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM， 设⊙M的半径为R． ∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC， ∴DE⊥CO， ∴DE是⊙M直径的一部分； ∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8）， ∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R； ∴AD=BD=AB =4（垂径定理）； 在Rt△ADM中， 根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2， ∴R2=（8-R）2+42， ∴R=5． ∴M（-4，5）． 故答案为：（-4，5）． 【点睛】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．解题时，需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题． 三、解答题：本题共10小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的公式法直接计算即可得． 【详解】解：方程， ∵，，， ∴， ∴． 即，． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的公式法，熟练掌握运用公式法是解题关键． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 21. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1． （1）在正方形网格中，作出△AB1C1； （2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长． 【答案】（1）作图见解析（2）. 【解析】 【分析】（1）根据网格图知：AB=4，BC=3，由勾股定理得，AC=5，作B1A⊥AB，且B1A=AB，作C1A⊥AC且C1A=AC； （2）旋转过程中动点B所经过的路径长．即是一段弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解:（1）如图． （2）旋转过程中动点B所经过的路径为一段圆弧． ∵AC=4，BC=3， ∴AB=5． 又∵∠BAB1=90°， ∴动点B所经过的路径长为： =． 22. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数． 【答案】平均每次降价的百分数为 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分数为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1－降价的百分比）列出方程求解即可 【详解】解：设平均每次降价的百分数为x 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：平均每次降价的百分数为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中增长率或下降率的实际运用，根据题意列出方程是关键 23. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况乙获胜．这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明． 【答案】不公平，见解析． 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果，分别计算甲、乙获胜的概率，进行比较解题． 【详解】解：这个游戏不公平，理由如下： 根据题意列树状图如下： 所有等可能的结果有：4，5，7，5，6，8，7，8，10共9种， ∴，， 即数字是2的倍数的概率为，数字不是2的倍数的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大，这个游戏不公平． 【点睛】本题考查游戏公平的判断、利用树状图计算概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24. 已知二次函数的部分图象如图所示，为抛物线顶点． （1）写出二次函数的解析式； （2）若抛物线上两点，的横坐标满足，则__________；（用“”，“”或“”填空） （3）观察图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标是（-1，2）写出函数解析式即可； （2）根据抛物线的增减性解答； （3）根据函数图象直接得到答案． 【详解】解：（1）根据图示知，抛物线顶点坐标是（-1，2），则该抛物线的解析式是； （2）根据图示知，当x＞-1时，y的值随x的值增大而减小，所以抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足-1＜x1＜x2，则y1＞y2； 故答案是：＞； （3）由抛物线的对称轴是直线x=-1，知抛物线与x轴的另一交点坐标是（1，0）， 所以当y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等，解答此题，需要学生具备一定的读图能力，难度不大． 25. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；(2) 450cm2 【解析】 【详解】（1）解：∵其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x． ∴S=x(60-x)， 整理得． （2）所以时，菱形风筝面积S最大， 最大面积是． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对二次函数及菱形面积的学习． 26. 如图，已知是的直径，与相切于点，点是上异于点，的一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠PAO=90°，再利用等腰三角形的性质得到∠PAC=∠PCA，∠OAC=∠OCA，所以∠PCO=∠PAO=90°，然后根据切线的判定得到结论； （2）连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AC，然后证明△PAC为等边三角形，从而得到PA的长． 【详解】解：（1）连接． ∵是的切线，是的直径， ∴（圆的切线垂直于过切点的半径） ∴， ∴， ∵， ∴（等边对等角） ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）连接． ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形） ∴， ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角） 在中，，，， ∴，∴， ∴． 答：的长是． 【点睛】本题考查了切线判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 27. 如图，，，，． （1）请你用无刻度的直尺和圆规，作出的内切圆（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求的半径长． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）作的平分线，作的平分线，两平分线相交于点，作于点，以为圆心，为半径作即可； （2）过作于点，于点，先证明四边形是矩形，再证明矩形是正方形，设的半径为，则，利用勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）过作于点，于点， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 设的半径为，则， ∵是的内切圆， ∴，（从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角） ∵中，，，， ∴， ∴， ∴． 答：圆的半径长为2. 【点睛】本题考查作图—作角平分线、三角形内切圆与内心、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 28. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A的坐标为，与y轴交于点，并经过点，M是它的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把三点代入二次函数解析式，解方程组即可． （2）利用配方法将抛物线方程转化为顶点式，直接写出点M的坐标． （3）如图中，由A、B关于对称轴对称，连接交对称轴于P，连接，此时的值最小．求出直线的解析式，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过， 则有：， 解得． ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的解析式化为， ∴顶点M的坐标为； 小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接，此时的值最小． 由知， ∵，设直线BC的解析式为，则有 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． ∵抛物线的对称轴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年甘肃省酒泉市二中九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图像向上平移3个单位，得到新的图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 （ ） A. ≥ B. ≤ C. ≥ D. ≤ 5. 如图，为的直径，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列判断正确是（　　） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件 7. 如图，是的直径，半径的垂直平分线交于，两点，，．则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 已知函数是二次函数，则的取值范围是__________． 10. 坐标平面内的点P(m，﹣2)与点Q(3，n)关于原点对称，则m＋n＝__． 11. 已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________． 12. 正四边形的边长为4，则它的边心距是___________． 13. 如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为_____． 14. 二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是______． 15. 如图，在矩形中，，．将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为___________． 16. 铅球运行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系满足，此运动员能把铅球推出__________． 17. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对圆周角的度数为_____． 18. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切．若点的坐标为，则圆心的坐标为___________． 三、解答题：本题共10小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1． （1）在正方形网格中，作出△AB1C1； （2）设网格小正方形边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长． 22. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数． 23. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况乙获胜．这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明． 24. 已知二次函数的部分图象如图所示，为抛物线顶点． （1）写出二次函数解析式； （2）若抛物线上两点，的横坐标满足，则__________；（用“”，“”或“”填空） （3）观察图象，直接写出当时，的取值范围． 25. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 26. 如图，已知是的直径，与相切于点，点是上异于点，的一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. 如图，，，，． （1）请你用无刻度的直尺和圆规，作出的内切圆（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求的半径长． 28. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A的坐标为，与y轴交于点，并经过点，M是它的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $