精品解析：2026年浙江南海实验学校旌旗山初中校区等校初中毕业生学业水平第二次数学质量监测

2026年舟山市金衢山五校联考初中毕业生学业水平第二次数学质量监测 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：A、，2是正数， ∴A不符合要求； B、，1是正数， ∴B不符合要求； C、，6是正数， ∴C不符合要求； D、，是负数， ∴D符合要求． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是简单几何体的左视图． 【详解】根据左视图画法画出即可．注意：因为台阶中间的折线从左侧是不可见的，所以这个折线画的是虚线．如图： 3. 2026年1月23日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况．数据显示，2025年，全市地区生产总值为亿元，比上年增长．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，据此求解即可． 【详解】解：∵亿， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，故A选项计算正确； B、，故B选项计算错误； C、，故C选项计算错误； D、，当时 ，故D选项计算错误． 5. 2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 18和20 B. 18和21 C. 20和18 D. 20和21 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路为：先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中18出现3次，次数最多 ∴众数为18 ∵这组数据共10个，为偶数个，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第5个和第6个数，即20和20 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是18和20． 6. 普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可得． 7. 如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得是等边三角形，进而根据弧长公式即可求解． 【详解】∵ ∴是等边三角形， , ∴的长度为：． 9. 如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别延长交于点，则可证得四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得为的中点，也是的中点，所以的运动轨迹是三角形的中位线，所以点到直线的距离为是一个定值， 问题得解． 【详解】解：如图， 分别延长交于点， ∵，分别是以，为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴为的中点， ∵的中点为， ∴从点运动到点时，始终为的中点， ∴运动的轨迹是三角形的中位线， 又∵， ∴到直线的距离为一定值， ∴与点移动的时间之间函数关系的大致图象是一平行于轴的射线， 10. 如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出正方形边长，过点作交于点K，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的性质得出，再用相似三角形的性质求出的长度，由等腰三角形的三线合一求出的长，进而求出、的长，从而得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，由一线三垂直得出，的长，再由勾股定理即可求出的长，从而得出比值； 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，， 四边形是正方形， ，， 过点作交于点K， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， （） ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， （） ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等）将分散的条件集中到可计算的直角三角形中． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 12. 如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【解析】 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 13. 已知点在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由点P在一次函数图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴． 14. 圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 【答案】80 【解析】 【分析】利用中心对称的性质将圆分成9个部分，再利用各部分之间面积的和差关系将所求的面积转化为规则图形的面积即可． 【详解】解：作圆竖直位置的直径向右移动，水平位置的直径向上移动， 如图所示： 由对称性可知：、、， 则 ． 15. 如图，长方形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为的中点，反比例函数的图象经过点D，且与交于点E，连接，，，若的面积为3，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，则的坐标为，，由点D在反比例函数的图象上，可得，继而根据进行求解即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 设点的坐标为，则的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：． 16. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 三、解答题（本大题有8小题，第17~21题每小题8分，第22、23题每题各10分，24题12分，共计72分） 17. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再合并计算得到结果. 【详解】解： 18. 下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化为1，得．……第四步 （1）任务一：①小茗同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，他的错误原因是____________； ②第四步的解题依据是______； （2）任务二：直接写出这个不等式的解集：______； （3）任务三：除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 【答案】（1）①一，去括号后括号中第二项没有变号；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变； （2）； （3）若x的系数为负数，当x的系数化为1时，不等号的方向要改变（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）①按照小茗同学求解不等式的步骤，逐步判断即可求解；②根据不等式的性质即可求解； （2）按照一元一次不等式的求解步骤，求解即可； （3）根据一元一次不等式的求解步骤和不等式的性质，求解即可． 【小问1详解】 解：①小茗同学的解答过程中，从第一步开始出现错误，他的错误原因是去括号后括号中第二项没有变号； ②第四步的解题依据是不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变； 【小问2详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， x系数化为1，得； 【小问3详解】 解：若x的系数为负数，当x的系数化成1时，不等号的方向要改变． 19. 如图，在矩形中，点是上一点，于，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∵，， ∴． 20. 数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校想知道同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度，在九年级随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求的值； （2）若该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级约有多少名学生十分了解“概率发展的历史背景”； （3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“十分了解”的同学是三名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中‘数学发展史’”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）100名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比求出调查总人数，即可求出值． （2）用总人数乘以样本中“十分了解概率发展的历史背景”的学生所占百分比即可求出答案． （3）利用列表法直观可知事件的总情况以及抽中一名男生和女生的情况，利用概率公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：调查总人数为（名）， ． 【小问2详解】 解：（名） 答：该校九年级十分了解“概率发展的历史背景”的学生数约为100名． 【小问3详解】 解：列表法：设这4名学生分别为：女，男1，男2，男3，列表如下： 女 男1 男2 男3 女 （女，男1） （女，男2） （女，男3） 男1 （男1，女） （男1，男2） （男1，男3） 男2 （男2，女） （男2，男1） （男2，男3） 男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2） 由表格可知，所有可能结果共有12种，选中一男一女的结果有6种． ． 21. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 22. 如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）相切，见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【小问1详解】 解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； （1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； （2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； （3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【答案】（1） （2）该同学初次投篮时不能命中篮筐 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得顶点的坐标； （2）根据点和顶点的坐标，用顶点式表示出函数解析式，把点的坐标代入可得二次项系数的值，即可得出抛物线解析式，把代入（1）中得到的函数解析式，求得的值，看是否在和之间即可判断能否命中篮筐； （3）判断出平移后的解析式，把代入后求得合适的的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，篮球最大高度为米， 顶点C的水平坐标为米， 因此顶点坐标为； 【小问2详解】 解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ． 当时，， ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐； 【小问3详解】 解：新的抛物线解析式为：， 根据题意得抛物线过点， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 24. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）【特例感知】如图1，当时，点在延长线上，求证：； （2）【问题探究】在（1）的条件下，若，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，当时，点在边上． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，直接写出的值． 【答案】（1）见详解 （2）４ （3）① ② 【解析】 【分析】（）利用点的对称性和平行线的性质找出对应的角相等，解出答案． （）利用小问中的全等，得到新的条件，证明，得到，最后利用方程思想和相似解出答案． （）①同小问中证全等的方法，证，利用相似三角形对应边成比例解出答案． ②作辅助线，利用方程思想，将题中的线段设出来，经过两次８字模型的相似，求出的代数式，第三次利用相似解出答案． 【小问1详解】 证明：∵点与点关于直线的对称, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 【小问3详解】 ①解：∵点与点关于直线的对称, ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，点Ａ、F、P共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴． ②解：如图所示，延长线段交的延长线于点, ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，解得， 则， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与相似三角形的综合，解题的关键点是能找出线段是已知条件的相似三角形，得出新的条件，再利用相似和方程思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年舟山市金衢山五校联考初中毕业生学业水平第二次数学质量监测 注意事项： 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年1月23日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况．数据显示，2025年，全市地区生产总值为亿元，比上年增长．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 18和20 B. 18和21 C. 20和18 D. 20和21 6. 普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 12. 如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 13. 已知点在一次函数的图象上，则______． 14. 圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 15. 如图，长方形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为的中点，反比例函数的图象经过点D，且与交于点E，连接，，，若的面积为3，则k的值为________． 16. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 三、解答题（本大题有8小题，第17~21题每小题8分，第22、23题每题各10分，24题12分，共计72分） 17. 计算： 18. 下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化为1，得．……第四步 （1）任务一：①小茗同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，他的错误原因是____________； ②第四步的解题依据是______； （2）任务二：直接写出这个不等式的解集：______； （3）任务三：除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 19. 如图，在矩形中，点是上一点，于，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 20. 数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校想知道同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度，在九年级随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求的值； （2）若该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级约有多少名学生十分了解“概率发展的历史背景”； （3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“十分了解”的同学是三名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中‘数学发展史’”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 21. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 22. 如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求证：； （3）若，，求的长． 23. 综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； （1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； （2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； （3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 24. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）【特例感知】如图1，当时，点在延长线上，求证：； （2）【问题探究】在（1）的条件下，若，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，当时，点在边上． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $