精品解析：新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

阿克苏市2025～2026学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 卷面分值：150分 测试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 9. 二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（ 　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 抛物线的顶点坐标是____________． 11. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 12. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是__________． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于______． 14. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为_____． 15. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数，经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若点在该函数图象上，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 19. 如图，的直径的长为10，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求弦的长． 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若两根，满足，求k的值． 21. 如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，连结，，分别交于点，． （1）求与的数量关系，并说明理由； （2）若，且，求的长． 22. 暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本) （1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B． （1）求抛物线解析式； （2）是x轴上一动点．过点E作轴交于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． ①点E在线段上运动，当线段的长度最大时，求点P的坐标； ②点E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏市2025～2026学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 卷面分值：150分 测试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．按照定义即可找到常数项． 【详解】解：已知一元二次方程，则其常数项为． 故选：C． 3. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意； B、是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、是二次函数关系，故此选项符合题意； D、不是二次函数关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出时的值，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，是抛物线上的点， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据旋转即可得，即可得． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得，， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处， ∴， ∴， 故选：A． 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 8. 的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可． 【详解】解：过作于，连接，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，过， ， 即， 故选：D． 9. 二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（ 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，得到二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称是解题的关键．根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即可解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为， ∴二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称， ∵二次函数的图象与x轴交点为， ∴二次函数的图象与x轴交点为， ∴方程的解是， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线顶点式：，顶点为即可求解． 【详解】解：由抛物线得 顶点为； 故答案：． 【点睛】本题考查了根据抛物线的顶点式求顶点，掌握求法是解题的关键． 11. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】根据题意得：αβ=﹣1． 故答案为﹣1 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 12. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是__________． 【答案】##37度 【解析】 【分析】首先根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后根据三角形内角和定理和旋转的性质即可求出． 【详解】∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得到，解答即可，熟练掌握根的定义是解题的关键． 【详解】把代入方程， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 17. 已知二次函数，经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． 【小问1详解】 将点代入二次函数得：， 二次函数解析式为：． 【小问2详解】 将点坐标代入得：， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 如图，即为所求． ，， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可得，点Q的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 19. 如图，的直径的长为10，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据是的直径得出，再由得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论； （2）由（1）知，，根据是的平分线可得出，故可得出的度数，由得出的度数，根据是的直径得出，故是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若两根，满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∵ ∴ 整理得， ∴ 或 解得，， ∵， ∴． 21. 如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，连结，，分别交于点，． （1）求与的数量关系，并说明理由； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： 为中点， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解． （1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解； （2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 是直径， ， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 22. 暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本) （1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）元或39元 （3） 解：不能，理由如下： 设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， ， 故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据当天销售量增加的销售单价，即可得到答案； （2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程即可得到答案； （3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，列出一元二次方程根据根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：（件）， 故答案为：230； 【小问2详解】 解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件， 依题意得， 整理得， 整理解得，， 答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元． 【小问3详解】 略 23. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B． （1）求抛物线解析式； （2）是x轴上一动点．过点E作轴交于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． ①点E在线段上运动，当线段的长度最大时，求点P的坐标； ②点E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）①；②，， 【解析】 【分析】（1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①根据点E的坐标求得点D和点P的坐标，利用两点之间的距离公式即可求得PD的最大值，对应求得点P的坐标；②利用勾股定理和两点之间的距离分别求出含有字母m的边，因为是等腰三角形，分别讨论腰和底的情况，求出对应m的值，即可求得此时点E的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线． 【小问2详解】 ①∵轴， ∴， ∵点， ∴点，点， ， 当时，有最大值， 故点． ②根据上问得：，，， 当时，化简得或(舍去)； 当时，化解得或(舍去)； 当时，化解得或(舍去)； 那么或或． 故点E的坐标为，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求得一次函数和二次函数的解析式，根据两点之间的距离和勾股定理求得两点的距离，转化为求二次函数最值或解等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $