精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

初二学年上学期期中数学试卷 一、单选题（每题3分，共42分） 1. 下列长度的线段中，不能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，正确把握定义是解题关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，该选项符合题意； B、，能组成三角形，该选项不符合题意； C、，能组成三角形，该选项不符合题意； D、，能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，是轴对称图形； 对四个选项逐一分析即可． 【详解】选项A：“爱”找不到这样的对称轴，折叠后无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项B：“我”左右结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项C：“中”沿竖直中线折叠，直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项D：“华”结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等即可解答． 【详解】解：∵，和，和是对应顶点， ∴． 故选：C． 4. 已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作线段垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意可得，则点在线段的垂直平分线上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 故可判断D选项正确． 故选：D． 5. 如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（ ） A. 12 B. 7 C. 13 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，根据线段的和差关系可得的长，再求出的长，进而可求出中线的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 7. 如图，在中，，，垂足分别是，，、交于点，已知，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明与 全等，从而得到之间的数量关系是本题的解题关键．根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答． 【详解】解：，， ， ， ， 在与中， ， ，， 又，， ， 故选：B． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 10. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 11. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD=60，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ. ∵在△PFD和△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS)， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=. 故选：B. 12. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴点A与点C关于对称． 连接与的交点为M，则此时点M为使周长最小时的位置． ∵点D是底边上的中点，且是等腰三角形， ∴．， ∵，， ∴． ∵， ∴的周长． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键． 13. 如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，AB＝5，AC＝11，则CM的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，Rt△PAN≌Rt△PAM，即可得出答案． 【详解】证明：连接PB，PC， ∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC， ∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°， ∵P在BC的垂直平分线上， ∴PC=PB， 在Rt△PMC和Rt△PNB中 ， ∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL）， ∴BN=CM． 在Rt△PAN后Rt△PAM中， ， ∴Rt△PAN≌Rt△PAM， ∴AM=AN， ∴AB+AC=AM+CM+AN-BN=2AM=16， ∴AM=8，CM=AC-AM=11-8=3， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 14. 如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，证明 从而可判断①，由可得 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出，进而证明，判断③，得出，即可判断④ 【详解】解：为等边三角形， 即 故①正确； 故②正确； 则 在中 ，故③正确； 又 是等边三角形，故④正确 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 15. 平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由三线合一可得，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 18. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于的长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交②中的弧于点，作射线交于点．若，则的度数为____________度． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定及性质，三角形的外角定理，能从作图步骤中找出相等的线段来证明三角形全等是解题的关键． 由作图中半径相等得，可证明，由全等得，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出的度数． 【详解】由题意得，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：31． 19. 如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若的周长为，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 20. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据长方形的性质和，可以得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质得出的度数，根据折叠重合的角相等得出，最后利用平行线的性质和折叠的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形为长方形， ，． 在直角三角形中，， ， ， 根据折叠重合的角相等，得． ， ， 再根据折叠的性质得到． 故答案为：． 21. 中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ， ， ， ， ， ， ， 当为钝角角三角形时，的延长线于， ， ， ， ， ， ， ； 当为直角三角形，时，不存在， 故的度数为或． 故答案为：或． 22. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键． 23. 如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走______时与全等． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：①若，，则；②若，，则即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ①若，此时，， ， ， ②若，，， ， ． 故答案为：1或 24. 如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长为_____． 【答案】22019 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案． 【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°， ∴∠OA1B1＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠OB1A2＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， 同理可得： ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝23﹣1B1A2＝4＝22， A4B4＝24﹣1B1A2＝8＝23， A5B5＝25﹣1B1A2＝16＝24， …， 则△A2020B2020A2021的边长为＝22019． 故答案为：22019． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度角的直角三角形等知识，熟知两个定理并灵活应用，并分别计算前三个三角形边长寻找规律是解题关键． 三、解答题（共48分） 25. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 26. 如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标（直接写答案）：____________；____________；____________； （3）的面积为____________（直接写答案）； （4）为轴上的一动点，的最小值为____________（直接写答案）． 【答案】（1） 画图如下，即为所求图形．： （2） （3） （4）5 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据(1)的解答直接写出坐标即可 （3）利用分割法计算面积即可； （4）根据轴对称原理，结合勾股定理解答即可． 本题考查了关于y轴对称的作图，分割法计算图形的面积，轴对称原理计算线段和的最小值，勾股定理，熟练掌握对称性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标， 【小问2详解】 解：根据作图可得，， 故答案为：． 【小问3详解】 解： 故答案为：． 【小问4详解】 解；如图所示， 点关于轴的对称点为， 连接交轴于点， ， ， 点三点共线， 此时的值最小， ， 故答案为：5． 27. 如图，在和中，于，于，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵与相交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）先由得，再根据对顶角相等得，然后由证明，最后根据全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 又， ． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质， （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 29. 预备知识：如图1，中，与的平分线交于点D，过D作平行于的直线m，交边于G，交边于F，易证：． 当与外角的平分线交于点D时，过点D作平行于的直线m，请解决以下问题： 问题探究： （1）如图2，直线m交边于G，交边于F，请你给出、、之间的数量关系并说明理由． 思维扩展： （2）如图3，直线m交边延长线于G，交边延长线于F时，请直接写出、、之间的数量关系为________． 能力提升： （3）当直线m恰好经过点A时，有什么特征，请直接给出结论，不必证明． 【答案】 （1），理由如下： ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）；（3）是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键． （1）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可求解； （2）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可求解； （3）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可． 【详解】解：（1）略 （2）， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）是等腰三角形， 如图，∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二学年上学期期中数学试卷 一、单选题（每题3分，共42分） 1. 下列长度的线段中，不能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（ ） A. 12 B. 7 C. 13 D. 10 6. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，垂足分别是，，、交于点，已知，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 11. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A. B. C. D. 不能确定 12. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 13. 如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，AB＝5，AC＝11，则CM的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 14. 如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共30分） 15. 平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则____． 16. 如图，在中，，是上的高，，，则的度数为______． 17. 如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 18. 如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于的长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交②中的弧于点，作射线交于点．若，则的度数为____________度． 19. 如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若的周长为，，则的周长是______． 20. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________． 21. 中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为__________． 22. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则________． 23. 如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走______时与全等． 24. 如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长为_____． 三、解答题（共48分） 25. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 26. 如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标（直接写答案）：____________；____________；____________； （3）的面积为____________（直接写答案）； （4）为轴上的一动点，的最小值为____________（直接写答案）． 27. 如图，在和中，于，于，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 28. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 29. 预备知识：如图1，中，与的平分线交于点D，过D作平行于的直线m，交边于G，交边于F，易证：． 当与外角的平分线交于点D时，过点D作平行于的直线m，请解决以下问题： 问题探究： （1）如图2，直线m交边于G，交边于F，请你给出、、之间的数量关系并说明理由． 思维扩展： （2）如图3，直线m交边延长线于G，交边延长线于F时，请直接写出、、之间的数量关系为________． 能力提升： （3）当直线m恰好经过点A时，有什么特征，请直接给出结论，不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $