精品解析：甘肃省陇南市礼县2025-2026学年八年级上学期周期学业能力评鉴数学试卷

2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 在下列长度的四根木棒中，能与3cm和9cm的两根木棒围成一个三角形的是（ ） A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【详解】设第三边为c， 则9+3＞c＞9-3， 即12＞c＞6． 只有9符合要求． 故选：A． 3. 能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 两边中点的连线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分面积即可得出结论． 【详解】解：能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是中线； 故选B． 4. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵点，点B与点A关于y轴对称， ∴点B的坐标为：． 故选：C． 5. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么这个等腰三角形的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据腰三角形的性质，内角和定理得出底角解答． 根据等腰三角形的性质，内角和定理即可得到每个底角的度数． 【详解】∵等腰三角形的一个内角等于，且一个三角形最多有一个角是钝角或直角， ∴等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故选：A． 6. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 7. 小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， 则证明的依据的是， 故选：C． 8. 如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴． 故选D． 9. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在中，．若，则∠B的度数为____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质即可求解，掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． 12. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是________，该逆命题是______（填真、假）命题． 【答案】 ①. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 ②. 假 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13. 如图，已知，，，则的长是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等的性质可得，，观察图形得． 【详解】解：，，， ，， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的对应边相等是解题的关键． 14. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则第三边长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是根据等腰三角形的性质确定可能的边长，并利用三角形三边关系进行验证． 分为两种情况：当腰为时，三边为，，，当腰为时，三边为，，，再根据三角形三边关系定理确定答案即可． 【详解】解：解：当腰为时，三边为，，， ， 不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去； 当腰为时，三边为，，， 此时符合三角形的三边关系定理， 所以三角形的第三边为， 故答案为：． 15. 如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等计算即可； 【详解】∵在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∴， ∵， ∴； 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 16. 如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质判定点C和点B关于直线对称，得到，结合，判定当B，P，E三点共线时，有最小值，其最小值为计算即可． 【详解】∵，，是的两条中线， ∴点C和点B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当B，P，E三点共线时，有最小值， ∵， ∴最小值为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段最短原理，熟练掌握三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 18. 如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】略 19. 如图，A，B是小河同侧的两个村庄，为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站，为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】 如图，连接，作线段的垂直平分线，交小河于点C，点C到点A点B的距离相等． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图——作线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，是解题的关键． 作线段的垂直平分线交小河于点C，点C为水站的位置． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图上画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上画出一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）画图见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，首尾连接各点，即可得出答案． （2）连接交y轴于点P，根据C，两点关于y轴对称，得，得，最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求．由图可得． 【小问2详解】 解：如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 21. 如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，即可得到的度数． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， ． 【小问2详解】 是的高， ， ， ， ． 22. 如图，等腰中，，，是边上一点且，是边上的中点，连接，. （1）求的度数； （2）若上存在点，且，求证：. 【答案】（1）20°； （2）证明：∵D是BC边上的中点， ∴BD=CD， ∵∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE， ∵AD⊥BC， ∴D是EF边上的中点， ∴FD=ED， ∴BD-FD=CD-ED，即BF=CE． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数； （2）等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，FD=ED，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠ABC=35°， ∴∠C=35°， ∵AE=CE， ∴∠CAE=35°， ∵D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-90°-35°=55°， ∴∠DAE=∠DAC-∠C=55°-35°=20°； （2）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，，分别平分，，过作直线平行于，交，于，，求证： 【答案】 证明：∵，分别平分，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，平行线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义得出根据平行线的性质得出求出根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】略 24. 如图，在中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据△ABD是等边三角形，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，证明△CBA≌△CDA（SAS），得到∠ADC＝∠ABC＝90°，根据∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB，即可求出∠BDC的度数． 【详解】解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°，AB＝AD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°， 在△CBA与△CDA中， ， ∴△CBA≌△CDA（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题． 25. 如图，点是的边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ， 即 ， 在和中， ； ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（）知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 26. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 在中，，，平分，交于点P，点M为边上一点，线段交于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边，同（等）角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，再根据等角的余角相等得出，进而得出，然后根据“等角对等边”得出答案； （2）先根据“角边角”证明，再根据“边角边”证明，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的四根木棒中，能与3cm和9cm的两根木棒围成一个三角形的是（ ） A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. 12cm 3. 能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 两边中点的连线 4. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么这个等腰三角形的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 7. 小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在中，．若，则∠B的度数为____． 12. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是________，该逆命题是______（填真、假）命题． 13. 如图，已知，，，则的长是____________． 14. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则第三边长是______． 15. 如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 ________． 16. 如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 18. 如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 19. 如图，A，B是小河同侧的两个村庄，为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站，为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 20. 如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图上画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上画出一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 22. 如图，等腰中，，，是边上一点且，是边上的中点，连接，. （1）求的度数； （2）若上存在点，且，求证：. 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在中，，分别平分，，过作直线平行于，交，于，，求证： 24. 如图，在中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数． 25. 如图，点是的边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 26. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 27. 在中，，，平分，交于点P，点M为边上一点，线段交于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $