精品解析：上海市长岛中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试卷

2024学年第一学期初二数学阶段练习试卷 （完卷时间：100分钟 满分：100分） 考生注意：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 三角形的内角和为180° D. 三角形任意两边之和大于第三边 5. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 8. 计算______． 9. 将化成最简二次根式为 _____． 10. 计算：______． 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 12. 方程的解为__________． 13. 解一元二次方程的根是___________． 14. 在实数范围内将分解因式可得______． 15. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 16. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 17. 如图，已知，请再添加一个条件______，使（无需添加任何辅助线或点）． 18. 如图，在五边形中，且，，则五边形的面积为_____． 三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 解方程： 22. （1）解方程： （2）已知矩形中，，在中取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 23. 如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，在等边三角形中，点E在边上，点D在边的延长线上，，以为一边作等边三角形，连接．求证：． 四、解答题：（本大题共3题，第25、26题各8分，第27题12分，满分28分） 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 26. 定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． （1）若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； （2）如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 27. 综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱． 素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初二数学阶段练习试卷 （完卷时间：100分钟 满分：100分） 考生注意：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的化简、加减、除法运算法则． 分别对每个选项中的二次根式运算进行分析，判断其正确性． 【详解】解：A、化简，故A错误； B、与不是同类二次根式，不能直接相减，所以，故B错误； C、是最简二次根式，不能化简为，因为，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 三角形的内角和为180° D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对顶角相等，原说法是真命题，故本选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题，故本选项符合题意； C、三角形的内角和为，原说法是真命题，故本选项不符合题意； D、三角形任意两边之和大于第三边，原说法是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 8. 计算______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和积的乘方，熟知运算法则是关键．利用二次根式的乘法运算和积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 9. 将化成最简二次根式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法与二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 先根据二次根式的乘法进行计算，再化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把未知数的系数化为1，然后开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 解一元二次方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用因式分解法求解即可． 【详解】， ， ∴， 故答案为：． 14. 在实数范围内将分解因式可得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式：综合运用公式法分解因式，把一个多项式通过因式分解法为几个整式乘积的形式，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意， 故答案为： 15. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 16. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【答案】 ①. 两条直线都垂直于同一条直线 ②. 这两条直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 17. 如图，已知，请再添加一个条件______，使（无需添加任何辅助线或点）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件或或，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：添加， 理由是：在和中， ， ∴； 添加， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 18. 如图，在五边形中，且，，则五边形的面积为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转至， 则，， ∴，即点D，E，F三点共线， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴五边形的面积为： ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，综合性较强，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简、绝对值的性质、分母有理化以及完全平方公式的运用． 分别对各项进行化简，包括二次根式的化简、绝对值的性质、分母有理化和完全平方公式的展开，然后再进行合并计算． 【详解】解： ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是将各项二次根式化为最简二次根式后再合并同类二次根式． 先把每一项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：． ． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程整理成一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：， 整理成一般式得 ， ，，，， ∴， 即． 22. （1）解方程： （2）已知矩形中，，在中取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． （2）根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形个亿，可得，设，可得方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：（1）， ∴， 则或， 解得． （2）四边形是矩形， ， 根据折叠的性质可知，， 四边形是正方形， ， 设， ， ， ， 四边形与矩形相似， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验：：是分式方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题主要考查了接一元二次方程，图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长． 23. 如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）先由得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在等边三角形中，点E在边上，点D在边的延长线上，，以为一边作等边三角形，连接．求证：． 【答案】 证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的判定，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据等边三角形的性质及邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论． 【详解】略 四、解答题：（本大题共3题，第25、26题各8分，第27题12分，满分28分） 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）k的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 26. 定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． （1）若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； （2）如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 在上取一点，使得，连接，如图 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 27. 综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱． 素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】（1）40，（2）裁掉小正方形边长是，（3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． 任务1：根据储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； 任务2：设裁去的小正方形的边长为储物盒的底面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设小长方形的宽为长为根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：任务1：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图1中的四角裁去小正方形的边长为， ∴储物盒的宽小正方形的边长， 故答案为：； 任务2：设裁去的小正方形的边长为 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴裁去小正方形的边长为． 任务3：设小长方形的宽为长为 根据题意得：， 由得， 把代入，整理得， 解得， ∵， ∴， ∴ 即小长方形的宽为长为 当和之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $