精品解析：河南省郑州市郑东新区玉溪初级中学2025-2026学年九年级上学期10月期中考试数学试题

2025--2026学年上学期期中学情调研 九年级数学试题卷 （时间：100分钟 分值：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】，符合条件，故A选项正确； ，为分式方程，故B选项错误； ，含有两个未知数，故C选项错误； ，x的最高次数为1，故D选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不符合题意； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，不符合题意； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不一定是正方形，不符合题意； D、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，符合题意； 故选：D． 3. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 4. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 5. 若把方程化为的形式，则的值是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】解：将配方得， ， 则， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 6. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得出，再由矩形的性质得出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴, 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 8. 如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，当时， ， 解得，且； 当时，原方程为一元一次方程， 解得，有实数根； 综上，当时，原方程有实数根． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，， ∴， ∵将菱形绕原点逆时针方向旋转， ∴，则， ∴ ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10. 如图1点P为正方形边上一个动点，沿着方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，若的长度y与运动时间t之间的关系如图2所示，则b的值为（ ）． A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查根据线段长函数关系图象确定自变量的值．熟练掌握正方形性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 由函数图象可知，正方形的边长等于a，对角线长为，根据勾股定理求出，根据，即可求得b值． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 当点P在边上时，， ∴， 当时，由图2知，， ∴， 当时，， ∵此时， ∴， 解得， 当点P在上时，， 当点P到点D时，， ∴, ∴， 故选：C． 二、填空题（共15分） 11. 请你写出一个关于x的一元二次方程，使其有一个根是0，另一个根是，则这个一元二次方程可以为：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 【详解】解：由题意得：方程有一个根是0，另一个根是， 整理得：， 故答案为：（答案不唯一） 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．对于关于一元二次方程，其根的判别式为，当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 14. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先证明，得到，再利用“三线合一”解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及斜边中线定理，熟练掌握正方形的性质及斜边中线定理是解题的关键；连接，则根据正方形的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形和是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴； 故答案． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）直接开平方即可求解； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 17. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率； （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可； （2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 当很大时，摸到黑球频率将会趋近， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为 18. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点A作于点H，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质： （1）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而证明即可； （2）根据菱形的性质得到，然后利用列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，对角线，相交于点，，，， ，， ，且， ， 是直角三角形，且， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 解得：． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 【答案】（1）见解析 （2）或2 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，及一元二次方程的解法，整除问题，求出一元二次方程的两根是解本题的关键． （1）当时，方程为一元一次方程.当时，方程为一元二次方程，根的判别式； （2）计算出方程的解，或，因为解是整数，即可算出的值． 【小问1详解】 解：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根． 综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； 【小问2详解】 解：方程有两个整数根， 方程为一元二次方程，即， ， 解得或， 又k为整数及方程的两个根都为整数， 或， 或2． 21. 用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为30米，宽为25米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽； （2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； 【小问2详解】 解：不能围成一个面积为900平方米长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 22. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）10或 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，理解定义是解题关键． （1）根据“等角线四边形”的定义即可判断； （2）连接、，根据正方形的性质，证明，即可得证； （3）根据题意求出、、，根据题意，分两种情况：Ⅰ当点在的上方时，连接；Ⅱ当点在的下方时，连接，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理及三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意； ②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意； ③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意； ④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）证明：如图，连接、， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是等角线四边形． （3）解：，，， ， 点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点， 是的垂直平分线， ， 根据题意，分两种情况： Ⅰ当点在的上方时，如图，连接， 四边形为等角线四边形， ， ， ． Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，， 四边形是矩形， ，， 四边形为等角线四边形， ． ， ， ， 综上，这个等角线四边形的面积为10或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年上学期期中学情调研 九年级数学试题卷 （时间：100分钟 分值：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 3. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 若把方程化为的形式，则的值是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 6. 根据下列表格对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( ) A B. C. D. 10. 如图1点P为正方形边上一个动点，沿着方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，若的长度y与运动时间t之间的关系如图2所示，则b的值为（ ）． A. 6 B. 12 C. D. 二、填空题（共15分） 11. 请你写出一个关于x的一元二次方程，使其有一个根是0，另一个根是，则这个一元二次方程可以为：_______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ________． 13. 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是_____． 14. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为___________． 15. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是中点，连接，那么的长是___________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）当n很大时，摸到黑球频率将会趋近 （精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点A作于点H，求的长． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 21. 用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 22. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 23. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $