精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

2025~2026齐市普高联谊校高三期中考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数及导数，向量，复数，三角函数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为 D. 函数的最大值为 11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为_____ 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，． （1）求，； （2）若，且，求实数k的取值范围． 16. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 18. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026齐市普高联谊校高三期中考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数及导数，向量，复数，三角函数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B． 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，结合的性质将分母实数化，从而求解． 【详解】 ， 故选：A． 3. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义列式求解即可. 【详解】由奇函数的定义得， 故选：D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为（4，3）． 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题． 5. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：作，，可知四边形为正方形，根据长度关系和向量线性运算可求得的值，进而得到结果； 方法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算可求得的值，进而得到结果. 【详解】方法一：过作，，垂足分别是， ，四边形为正方形， ，又， ，即，； 方法二：分别以射线为轴，轴的正半轴建立直角坐标系， 设，则， ，，， 由得：， ，解得：，. 故选：A. 6. 已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个等差数列的前项和公式，利用等差数列的性质即可得出结论. 【详解】由题意， 在两个等差数列中，前项和分别是，， 对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数）， ∴设，，为常数 ∴， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数、对数的性质和运算法则结合已知条件计算判断选项A，B；利用特殊值法判断选项C；利用不等式的性质，结合已知条件判断选项D． 【详解】当，时，，，，故A正确； 当，时，，， ，故B正确； 令时，成立，不成立，故C错误； 当时，，又，，故D正确． 故选：． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则的最大值为 D. 函数的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特例说明A是错误的；利用基本不等式判断BCD的真假. 【详解】对于A，取，，满足条件，但此时，故A错误； 对于B，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4，故B正确； 对于C，， 因为，所以，，所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为－2，故C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD 11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到子集即可. 【详解】因为对任意的，，时，恒成立， 设， 则 ， 所以函数在上单调递减， 又 ， 所以不等式成立等价于， 又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称， 当时，，解得； 当时，因为关于直线对称，即， 所以，解得， 综上不等式成立的条件为， 所以“不等式成立”的一个充分不必要条件为其子集，即或. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件求出，从而求出，最后利用二倍角的正切公式求出． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 13. 若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用命题的否定与原命题为一真一假，来把题意转化为全称量词命题，且为真命题来求解即可. 【详解】由题意可得，：，为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数的对称轴为， 所以当时，， 所以，即，解得或， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以的方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，． （1）求，； （2）若，且，求实数k的取值范围． 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用并集的定义求出，根据补集的定义求出； （2）根据集合包含关系，分和两种情况讨论，列不等式组求出实数k的取值范围． 【小问1详解】 集合， 或或， ． 【小问2详解】 ，， 由（1）知，， 当集合时，需满足，无实数解； 当时， 需满足，解得， 实数k的取值范围是． 16. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． 【小问2详解】 由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 17. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 18. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） 已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）； （3） 已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义证得数列是等比数列； （2）利用累乘法求得数列的通项公式； （3）利用裂项求和法求得，利用反证法证得数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 证明一个数列是等比数列，通常从数列的递推关系出发，通过变形得到相邻两项的比值为常数，同时要注意验证首项不为0.这种方法在处理给定递推式判断数列类型的问题中经常使用. 当数列的递推关系可以通过变形构造出一个新的等差数列或等比数列时，可利用新数列的性质求出通项公式，再反推原数列的通项公式.这里通过对两边同除以构造出等差数列，是数列通项求解的常用技巧. 对于数列求和问题，裂项相消法是一种重要的方法，适用于通项公式可以拆分成两项之差的形式.在证明数列中不同三项不能构成等差数列时，反证法是常用的证明手段，先假设成立，然后推出矛盾，从而否定假设. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案； （2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可； （3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可. 【小问1详解】 ， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 ，，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； 【小问3详解】 ， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $