精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

高三质检一数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的实部为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】化简计算，根据复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 所以实部为7． 故选：B 2. 已知集合满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集与并集的定义，结合元素与集合的关系求解． 【详解】，， ， 又， ，且， ． 故选：A． 3. 以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质判断出，结合以及离心率公式求得正确答案. 【详解】设的半焦距为， 由的左、右焦点与上、下顶点连线围成的四边形是正方形，得， 由椭圆的定义得，， 所以椭圆的离心率． 故选：B 4. 若函数的图像的一条对称轴为直线，则可以取（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的性质可求解. 【详解】由三角函数图像的性质得，函数的图像的对称轴为直线， 可得，得，当时，成立． 故选：D. 5. 已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数换元法求解析式，令，可得，再根据的符号确定函数单调性，得到极值点即可． 【详解】设，则，，即， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极大值点为． 故选：B． 6. 若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆内切得到，它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直，即可求解. 【详解】由题意知圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， 两圆内切，则它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直， 又两圆圆心所在直线的斜率为， 所以它们的公切线的斜率为． 故选：A 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简得原式，再结合二倍角的正弦公式和诱导公式即可得到答案. 【详解】原式 ， 又， 所以，  ， 故原式． 故选：C. 8. 设某地海拔（单位：m）为处的大气压（单位：kPa）为，海拔为处的大气压为，且满足，其中都是大于零的常数，表示海拔的平均气温（单位：K），记该地海拔为0m处的大气压为，下表列出了不同季节的数据： 季节 春季 夏季 秋季 冬季 若某天该地海拔的平均气温为300K，海拔的平均气温为285K，该地海拔1000m处的大气压为90kPa，海拔2000m处的大气压为80kPa，则这一天的季节为（ ） 附：，，． A. 春季 B. 夏季 C. 秋季 D. 冬季 【答案】A 【解析】 【分析】将题中数据分别代入公式，求得，结合题中附注的参考数据求出其近似值，对照表格即得. 【详解】由题意，将相应的数据分别代入，可得，， 所以，整理得． 根据参考数据可知，， 所以，由于，故此时当地的季节为春季． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行四边形中，，，记，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判断A、B的正误；根据向量夹角公式，结合数量积公式，化简计算，可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，，，若， 则，即，故C正确； 对于D，， 由，得， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD 10. 已知样本数据5，6，5，8，5，的中位数与平均数相等，则（ ） A. B. 这组样本数据的上四分位数为6 C. 这组样本数据的极差为7 D. 这组样本数据的方差为13 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、百分位数、极差、方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由题意知，该组数据的平均数为， 当时，中位数为5，令，解得，符合题意； 当时，中位数为，令，解得，不符合题意； 当时，中位数为5.5，令，解得，不符合题意； 综上所述，故A错误． 对于B，，将样本数据从小到大排列为， 第五个数为6，故B正确． 对于C，最大的数为8，最小的数为1，极差为7，故C正确． 对于D，，故D错误． 故选：BC 11. 已知函数，其中且，则下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有个零点 B. 存在，使得在定义域内单调递增 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A可通过令求解零点个数；选项B确定函数定义域，用定义域的极限思维来判断单调性；选项C可通过构造函数，分析其正负来判断与的大小关系；选项D可通过分析函数的性质，结合绝对值不等式来判断. 【详解】对于A，令，由，得，则方程有唯一解，即有个零点，故A正确； 对于B，由题意知的定义域为． 若，当从左边趋近于时，，，且，所以； 当从右边趋近于1时，，，且， 所以，因此不可能单调递增． 若，当从左边趋近于时，，，且，所以； 当从右边趋近于1时，，，且， 所以，因此不可能单调递增．故B错误； 对于C，，当时， ， 因为，所以，，则，即，故C正确． 对于D，当时，显然成立； 当时，因为，所以，易知， 此时，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列满足，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由等比数列通项公式化简等式求公比，然后由首项和公比即可求. 【详解】设的公比为， 则，得， 所以． 故答案为： 13. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，相交于，则, 由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又,平面， 则平面，且, 所以四棱锥的高为，其体积为，解得． 故答案为： 14. 已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设的左焦点为，连接，，通过余弦定理及向量数量积公式得到，，联立求解即可. 【详解】如图，设的左焦点为，连接，， ， ， ， ，． 设的半焦距为，则， 由对称性，可得， ， ， 在中，由余弦定理得， 又，即， 联立两式，得， 化简，得，故离心率． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有6张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机抽取1张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为． （1）若有放回地抽取，记事件为“”，求； （2）若无放回地抽取，记，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）求得的所有可能取值，利用古典概型概率公式求得对应概率，可得分布列，利用期望的计算公式计算即可. 【小问1详解】 有放回地抽取两次，则不同的结果共有（种）． 满足的有序数对有，，，共3种情况， 故． 【小问2详解】 的所有可能取值为1，2，3，4，5， ，，， ，． 所以的分布列为 1 2 3 4 5 所以． 16. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等差数列求得与的关系式，然后利用以及累乘法求得. （2）利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 因为，是公差为的等差数列， 所以，即． 当时，，整理可得， 所以，，，，， 累乘得，所以（也满足该式）， 故． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 ． 17. 如图，内接于圆柱的下底面圆，是圆柱下底面圆的直径，是圆柱的母线，，且，． （1）求点到平面的距离； （2）是圆柱上底面圆周上一点，若二面角的大小为，求． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直性质定理及其判定定理可得平面，即点到平面的距离为，计算即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，则可借助空间向量夹角公式计算，从而得到点坐标，即可得. 【小问1详解】 是圆柱的母线，平面， 又平面，， 是下底面圆的直径，， 又，、平面， 平面， 又， 故点到平面的距离为2； 【小问2详解】 如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意知圆柱底面圆的半径为，可设，， 由已知可得，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 可取， 易知平面的一个法向量为． 二面角的大小为， ， 解得或（舍去）， ，或， 若，则， 若，则， 故或． 18. 在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）． （1）证明：为定值； （2）证明：； （3）设为直线的交点，，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再整体代入的表达式即可； （2）解出坐标，从而得到和，再利用共线向量定理即可判断； （3）取的中点，根据向量运算得，再计算出，从而得到，再利用两点距离公式并结合二次函数性质即可求出最值. 【小问1详解】 由题意设直线的方程为， 联立与直线的方程，消去，得，， 设，，则，． ，为定值． 【小问2详解】 直线，与的方程联立，消去，得， 或，，同理，． ． 又，，故． 【小问3详解】 由（2）知，是的中位线，分别是的中点． 如图，取的中点，则， ． ，其中， ，即， ， ，当时，取等号， 的最小值为． 19. 已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2）函数求导得：． 当时，，，又，所以． 当时，令，则， ，则在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，且，， 存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增． ， 又，存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 在上存在唯一极（小）值点． ，又， 存在，使得， 在上存在唯一零点，得证． （3），， ，得，， ，等价于． 结合（2）的分析，，， ，即， 同理， ． 在区间上单调递减，要证，只需证． 又在上单调递增，只需证． ， 借助，可得， 令，则恒成立， 在上单调递增，，即成立，得证． 不等式成立． 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程； （2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论； （3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助进行放缩构造函数，从而证明结论． 【小问1详解】 若，则，求导得， ， 又， 所求的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三质检一数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的实部为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知集合满足，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 以椭圆的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图像的一条对称轴为直线，则可以取（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设某地海拔（单位：m）为处的大气压（单位：kPa）为，海拔为处的大气压为，且满足，其中都是大于零的常数，表示海拔的平均气温（单位：K），记该地海拔为0m处的大气压为，下表列出了不同季节的数据： 季节 春季 夏季 秋季 冬季 若某天该地海拔的平均气温为300K，海拔的平均气温为285K，该地海拔1000m处的大气压为90kPa，海拔2000m处的大气压为80kPa，则这一天的季节为（ ） 附：，，． A. 春季 B. 夏季 C. 秋季 D. 冬季 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行四边形中，，，记，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知样本数据5，6，5，8，5，的中位数与平均数相等，则（ ） A. B. 这组样本数据的上四分位数为6 C. 这组样本数据的极差为7 D. 这组样本数据的方差为13 11. 已知函数，其中且，则下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有个零点 B. 存在，使得在定义域内单调递增 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列满足，，则______． 13. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则______． 14. 已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有6张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机抽取1张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为． （1）若有放回地抽取，记事件为“”，求； （2）若无放回地抽取，记，求的分布列与数学期望． 16. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，内接于圆柱的下底面圆，是圆柱下底面圆的直径，是圆柱的母线，，且，． （1）求点到平面的距离； （2）是圆柱上底面圆周上一点，若二面角的大小为，求． 18. 在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）． （1）证明：为定值； （2）证明：； （3）设为直线的交点，，求的最小值． 19. 已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； （3）在（2）的条件下，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $