黑龙江绥化市第七中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

**基本信息** 高一数学期中卷以“致敬最美逆行”正方体展开图、紫砂壶圆台侧面积等文化与生活情境为载体，覆盖三角函数、立体几何、解三角形等核心知识，通过基础题与综合应用题梯度设计，培养数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数平移、正四面体外接球|结合抗疫情境考查空间想象（第3题）| |多选|3/18|棱柱结构特征、复数性质|注重概念辨析与逻辑推理（第11题）| |填空|3/15|复数运算、圆台侧面积|融入传统工艺情境（第13题）| |解答|5/77|解三角形、向量应用|综合考查数学语言表达与实际问题解决（第17题测山高）|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期期中测试卷 高一数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 2.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则(    ) A. B. C. D. 3.某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图是该正方体的展开图若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是(    ) A. 最 B. 美 C. 逆 D. 敬 4.已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于点对称，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.已知是棱长为的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，则的最小值(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 8.已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，则下列说法正确的是(    ) A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10.如图，在中，，为边上的中点，，，且，则(    ) A. 外接圆的半径为 B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11.下列命题中正确的是(    ) A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 棱锥的各侧面一定有一个公共点 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数         ． 13.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台其他因素忽略不计，如图给了一个石瓢壶的相关数据单位：，那么该壶的侧面积约为           ． 14.已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，为虚数单位． 若，求实数的值； 若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求； 若，，求，的值． 17.本小题分 如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为， 若，求坡面的坡比坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值 求证：山高． 18.本小题分 如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底圆台下底面大于上底面． 应取多少厘米？ 制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？不计连接处损耗 19.本小题分 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． 若，且，求坐标； 若为单位向量，且，求与的夹角． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：． 故选：． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 2.【答案】  【解析】解：因为中，，，， 所以． 故选：． 根据题意运用余弦定理进行求解，即可得到本题的答案． 本题主要考查了运用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：若图中“行”在正方体的左面， 则敬在前面，最在右面，美在下面，逆在后面，致在上面． 故选：． 由题意把正方体的展开图折回原图形，可知正方体右面的字是最． 本题考查棱柱的结构特征，考查多面体的剪展问题，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 4.【答案】  【解析】解：设的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 则依题意有， 因为的图象关于点对称， 所以， 所以，， 因为，所以当时，有最小值． 故选：． 表示出图象变换后的函数解析式，再由三角函数对称性表示出关于的表达式，即可求出的最小值． 本题考查了三角函数图象变换及性质，考查了函数思想，属于中档题． 5.【答案】  【解析】解：将该正四面体放在正方体中，设该正方体的棱长为，则，解得， 且正四面体的外接球即该正方体的外接球，外接球的直径为正方体体对角线长，即， 所求外接球的表面积为． 故选：． 将该正四面体放在正方体中，则正四面体的外接球即该正方体的外接球，根据题意可求得正方体的棱长，而外接球的直径为正方体体对角线长，由此容易得解． 本题考查正四面体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，属基础题． 6.【答案】  【解析】解：中，因为点是的中点，则， 又，则， 又，，三点共线，则，得到， 所以， 又，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以． 故选：． 根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解． 本题主要考查了向量线性运算及基本不等式求解最值，属于中档题． 7.【答案】  【解析】解：根据题意，可得，， 因为是的中线，所以． 故选：． 根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案． 本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：根据题意，设该圆锥的底面半径为， 由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为， 又由其轴截面的面积为，则，解得或舍去， 所以该圆锥的表面积为． 故选：． 根据题意，设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为，根据轴截面面积求出，从而求出锥体的表面积． 本题考查圆锥的表面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：， 则的虚部为，故A错误； ，为纯虚数，故B正确； ，故C正确； ，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D正确． 故选：． 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 10.【答案】  【解析】解：：根据正弦定理可得，解得，A错误； ，在中，，所以． 在中，，所以． 因为，， 所以，B正确； ：因为， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，C正确； ：因为， 所以． 因为， 所以， 当时，，所以，D错误． 故选：． 对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值． 本题主要考查了正弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：对于，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故选项A正确； 对于，如图，平面平面， 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故选项B错误； 对于，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 即必须是有一个公共顶点的几何体，故选项C正确； 对于，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故选项D正确． 故选：． 根据棱柱的几何特征可判断选项；利用棱锥的定义可判断选项；利用棱台的几何特征可判断选项． 本题考查几何体的结构特征，考查逻辑推理能力，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 根据复数的乘方运算求解． 本题考查复数的运算，属于基础题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆台的侧面积和表面积，属于基础题． 根据题意，作出近似圆台的轴截面，求出其母线长，由圆台的侧面积公式分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面， 上底面半径为，下底面半径为，高， 则该圆台的母线长为， 故圆台的侧面积，则该壶的侧面积约为． 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：已知是边长为的等边三角形，为平面内一点， 以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点， 则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 故答案为：． 建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可． 本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题． 15.【答案】    【解析】解：若， 则，解得； ， 若在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为． 结合复数相等的条件，即可求解； 结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 16.【答案】解：由正弦定理及，得， 由余弦定理得， 因为， 所以； 由知，又，， 由余弦定理可得，，即， 解得，．  【解析】由正弦定理角化边得，由余弦定理边化角即可求解； 直接由余弦定理列方程组即可求解． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 17.【答案】解：因为， 所以坡比为， 即坡面的坡比为； 证明：中，，， 所以，即． 所以， 即．  【解析】由坡比的定义及的大小；可得坡比的值； 中，由正弦定理可得，根据，化简可得结果． 本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系的应用，属于中档题． 18.【答案】    【解析】解：连接并延长交于点，过点作交于点， 因为，所以的长度为， 所以的周长为，所以，所以， 在中，，所以， 所以， 所以应取厘米； 设圆台上、下底面的半径分别为，母线长为， 因为，所以的长度为， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以需要的铁皮为：平方厘米， 故需要平方厘米的铁皮． 根据的长度等于的周长可计算出的半径，再根据几何关系可计算出的长度； 根据条件先计算出上下底面的半径和母线长度，然后计算出下底面面积和侧面积，则结果可知． 本题考查扇形的性质的应用及圆台的性质的应用，属于中档题． 19.【答案】解：设， ，且， ， 解得或， 或； ， ， ， 为单位向量，， ， ， ， ， ，．  【解析】设的坐标，由条件建立方程组，求解即可； 由平面向量的数量积的运算法则求出的数量积，再由夹角的计算公式计算即可． 本题考查平面向量平行和垂直的性质，属于中档题． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $