精品解析：安徽省黄山市歙县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

歙县部分学校联考2025-2026学年上学期10月月考九年级试卷 数　学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y =-t2+12t+2，当4≤ t ≤8时，该地区的最高温度是（　　） A. 38℃ B. 37℃ C. 36℃ D. 34℃ 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，则的值的变化范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于(﹣1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图象的对称轴是直线x＝1 B. 当﹣1＜x＜3时，y＜0 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3 7. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）． A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 10. 如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若是关于的二次函数，则的值为_____． 12. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接．点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点P的纵坐标是______． 13. 如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 14. 同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1，则它们另一个交点为坐标为_____． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 二次函数的图象经过点，，. （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标. 16. 已知二次函数y=x2+4x+k-1. （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值. 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 18. 设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，．若，，且图象开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”． （2）已知关于x的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值． 19. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝1，根据图象完成下列问题： （1）请补充完整二次函数对称轴直线x＝1左边的函数图象． （2）请写出三个正确的结论． 20. 已知，如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求直线AB的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ 21. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其对称轴与轴交于点. （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 23. 如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴的公共点分别为、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求的正切值； （3）如果点D在这个二次函数的图象上，且，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 歙县部分学校联考2025-2026学年上学期10月月考九年级试卷 数　学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如为常数，的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y =-t2+12t+2，当4≤ t ≤8时，该地区的最高温度是（　　） A. 38℃ B. 37℃ C. 36℃ D. 34℃ 【答案】A 【解析】 【分析】先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可． 【详解】∵， ∴当t=6时，函数最大值为38℃， ∴当4≤ t ≤8时该地区的最高温度是当4≤ t ≤8时， 故选：A． 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数最值的确定方法是解题的关键． 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，上移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式． 【详解】解：的顶点坐标为，把点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为， 所以平移后的抛物线的解析式是． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：“左移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键． 4. 若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，则的值的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得到，，对称轴的左侧，y随x的增大而增大，判断，从而得到，，得到，用b的代数式表示s即可确定范围． 【详解】∵二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和， ∴点和，都在对称轴的左侧， 即，，， ∵，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，对称轴的意义，不等式的意义，熟练掌握抛物线的增减性，灵活进行等式变形，不等式性质运用是解题的关键． 5. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于(﹣1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图象的对称轴是直线x＝1 B. 当﹣1＜x＜3时，y＜0 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象和性质即可判断A、C、D选项正确，B选项错误．进而可以选择． 【详解】解：根据函数图象可知： A、∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点， ∴图象的对称轴是直线x＝1，因此A选项正确，不符合题意； B、当﹣1＜x＜3时，y＞0，因此B选项错误，符号题意； C、当x＞1时，y随x的增大而减小，因此C选项正确，不符合题意； D、一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3．因此D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像以及性质，能从函数图像获取有用的信息是解题的关键，还需掌握二次函数的性质． 7. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位下降米后，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 8. 如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）． A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 10. 如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为：． 12. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接．点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点P的纵坐标是______． 【答案】或或4 【解析】 【分析】由题意可求得抛物线的解析式，从而得对称轴及点D的坐标，得长度；设点P的坐标，则由勾股定理可求得；分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵抛物线过点C、B， ∴， 解得：， ∴； ∴抛物线的对称轴为直线； ∴， ∴； 设，则，； ①当时，则有， ∴， ∴； 即点P的纵坐标为或； ②当时，则有， ∴， 解得：或（舍去）； 即点P的纵坐标为4； 综上，点P的纵坐标为或或4． 故答案为：或或4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识；熟悉这些知识是关键，注意分类讨论． 13. 如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 14. 同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1，则它们另一个交点为坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1， ∴另一交点的坐标是（-3，1）． 故答案是：（-3，1）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 二次函数的图象经过点，，. （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数解析式； （2）先把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标． 【详解】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得， 解得， 所以二次函数解析式为y=x2-2x-3； （2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4， 所以二次函数图象的顶点P坐标为（1，-4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 16. 已知二次函数y=x2+4x+k-1. （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值. 【答案】k＜5；k=5． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、当抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k的取值范围；(2)、顶点在x轴上则说明顶点的纵坐标为0. 试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜5. (2)、∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=5. 考点：二次函数的顶点 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】（1），能够投中； （2）能够盖帽拦截成功． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征． 根据球出手时的高度可知抛物线经过点，根据球出手后水平距离为时到达最大高度，可知抛物线的顶点坐标是，根据球出手时篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面可知篮圈中心的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式，当时，求出球的高度为，可知篮球能投中； 把代入代数式，可得：，因为可知能够盖帽拦截成功． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是， 设抛物线的解析式是， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中； 【小问2详解】 解：当时，， 能够盖帽拦截成功． 18. 设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，．若，，且图象开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”． （2）已知关于x的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值． 【答案】（1） （2）2或． 【解析】 【分析】（1）先求出顶点坐标，根据“反倍顶二次函数”的定义求解即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，再根据“反倍顶二次函数”的定义列出的方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：， 该二次函数图象的顶点坐标为， 其“反倍顶二次函数”图象的顶点坐标为． 又图象的开口方向相同， 二次函数的一个“反倍顶二次函数”是． 【小问2详解】 解：， ，  的顶点坐标为，的顶点坐标为． 函数恰是的“反倍顶二次函数”， 解得或． 故的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，理解“反倍顶二次函数”的定义是解答的关键． 19. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝1，根据图象完成下列问题： （1）请补充完整二次函数对称轴直线x＝1左边的函数图象． （2）请写出三个正确的结论． 【答案】 （1）如图所示： （2）抛物线的对称轴为x＝1；顶点坐标为(1，2)；a＜0 【解析】 【分析】（1）根据图象特点补全图象即可； （2）根据图象信息写出答案． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（2，1）， ∴抛物线过点（0，1）， （2）①抛物线的对称轴为x＝1； ②顶点坐标为（1，2）； ③a＜0． 【点睛】本题考查二次函数的性质，根据函数的性质补全图象是解题关键． 20. 已知，如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求直线AB的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ 【答案】（1）y＝﹣x＋6；（2）y=x2＋2x＋6；（3）P（3，） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法，即可得出结论； （2）根据交点式，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）（x＋2）（a≠0），将点A（0，6）代入求解，即可得出结论； （3）利用铅垂法及，即可求解． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， 将点A（0，6），B（6，0）代入y＝kx＋b（k≠0），得， ∴， 则直线AB的解析式为y＝﹣x＋6； （2）∵抛物线过点B（6，0），C（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）（x＋2）（a≠0）， 将点A（0，6）代入y＝a（x﹣6）（x＋2），得﹣12a=6， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣6）（x＋2）； （3）如图， 过点P作PN∥y轴，交AB于N， 设P点坐标为（t，）（0＜t＜6），则N（t，﹣t＋6），然后根据铅垂法可得： ∴PN＝﹣（﹣t＋6）=＋t﹣6， ∴ ， ∴当t＝3，即点P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式掌握坐标系中求几何图形面积的方法是解本题的关键． 21. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600； （2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒． 【解析】 【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，==； （2）P===， ∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P最大值=8000元， 即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）由题意，得=6000， 解得，， ∵抛物线P=的开口向下， ∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润， 又∵x≤58， ∴50≤x≤58， ∵在中，＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 【点睛】考点：二次函数的应用． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其对称轴与轴交于点. （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），抛物线的对称轴是； （2）点坐标为. 理由如下： ∵点（0，4），抛物线的对称轴是， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为（6，4）， 如图1，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小. 设直线的解析式为， 把（6，4），（1，0）代入得， 解得， ∴， ∵点的横坐标为3， ∴点的纵坐标为， ∴所求点的坐标为. （3）在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大.点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标； （3）过点N作NE∥y轴交AC于点E，交x轴于点F，过点A作AD⊥NE于点D，设点N的坐标为（t，t2-t+4）（0＜t＜5），则点E的坐标为（t，-t+4），进而可得出NE的长，由三角形的面积公式结合S△CAN=S△NAE+S△NCE可得出S△CAN关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为， ∴， ∴抛物线的对称轴是； （2）略 （3）在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大. 设点的横坐标为，此时点， 如图2，过点作轴交于；作于点， 由点（0，4）和点（5，0）得直线的解析式为， 把代入得，则， 此时， ∵， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 由得， ∴点的坐标为. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称-最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短，确定点P的位置；（3）利用三角形的面积公式结合S△CAN=S△NAE+S△NCE，找出S△CAN关于t的函数关系式． 23. 如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴的公共点分别为、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求的正切值； （3）如果点D在这个二次函数的图象上，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出两点的坐标，进而求出的长，勾股定理逆定理推出为直角三角形，再利用正切的定义，进行求解即可； （3）设，过点D作轴，垂足为点E，证明，得到，再根据点在抛物线上，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，．当时，得 ， ∴，． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 设． 过点D作轴，垂足为点E．则，． ∵ ，， ∴． 又∵， ∴ ， ∴． 又∵，即， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵ 点D在二次函数的图象上， ∴ ． 解得 ，（不合题意，舍去）． ∴． ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，求角的正切值，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $