精品解析：四川省成都市青羊区泡桐树中学2025-2026学年10月月考九年级数学试卷

2025-2026学年四川省成都市青羊区泡桐树中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．化简后方程的二次项系数是，故此选项不符合题意； B．方程的二次项系数可能为，故此选项不符合题意； C．化简后符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D．这个方程不是整式方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．理解和掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的判定，关键是掌握判定方法. 依据判定方法逐一判断即可. 【详解】①所有的正方形四个角都是直角，四条边都相等。因此，任意两个正方形的对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的正方形都相似，故该命题是真命题； ②所有菱形四条边都相等，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故该命题是假命题； ③所有的矩形四个角都是直角，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定都相似，故该命题是假命题； ④所有的等腰直角三角形对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似，故该命题是真命题； 综上所述：真命题有①和④，共个， 故选：B. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般平行四边形和特殊平行四边形的性质解答． 【详解】A选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，还可能是等腰梯形，故A错误； B选项：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误； C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确； D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误． 故选C 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握一般平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题关键． 4. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 19 D. 17或19 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】∵,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根 ∴（x-6）(x-8)=0， ∴x1=6；x2=8， ∵2+6=8<9， ∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ∴三角形的周长=2+8+9=19． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键. 5. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． D、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； 故选D． 【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出，即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， 故选：C 7. 如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作于点C，于点D．已知，，，，若球手恰好能击中B球，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】证明，再由对应边成比例可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即的长为12cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是判断出，要求熟练掌握相似三角形的对应边成比例． 8. 在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销售量x单位利润， 根据利润=单台利润×销售数量，设定价为元，单台利润为元．原售价2900元时每天售出8台，每降价50元多售4台．当售价为元时，降价元，相当于降价个50元，因此销量增加台，总销量为．由此列方程即可． 【详解】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 若，则___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据得，代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10 化简：（1_____． 【答案】． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】(1+)÷ = = =， 故答案为. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法． 11. 已知线段，C为线段的黄金分割点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．据此列式计算即可． 【详解】解：为线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 12. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门十五步有木，出西门六十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为_______． 【答案】步 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、正方形的性质，关键是论证两个三角形相似. 通过论证三角形相似得到对应边的比例关系，从而列出方程解出正方形的边长． 【详解】解：设正方形的边长为步， 点、点分别是正方形的边、的中点， ，， ， ∵，， ∴ ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴∽， ， 即， 解得：， 步； 故答案为：步． 13. 如图，矩形中，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键．证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求出，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M， 由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 14. 若实数a，b，c满足，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据等式的性质得：，，，再代入到等式中，得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可． 【详解】解：由得：，，， 代入到等式中，得： ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键． 15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，是方程的实数根，可得，，代入要求的代数式进行计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ， ，是方程的两个实数根， ， 原式 故答案为： 16. 如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．如图，三角形为等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形，且为直角三角形，，则_______． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质，分和两种情况，根据和含30度的直角三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：若为直角三角形，分两种情况： 当时，如图， ∵为理想对角线，四边形为理想四边形，且三角形为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 同理可得，则， ， 综上所述，或 故答案为：或 17. 如图，矩形中，，E为边上一点，F为上一点，且，，，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长交于点G，作于H，作于K，根据条件证明，得出对应边成比例，然后证明为等腰三角形，设，则，证明，利用对应边成比例列出方程求出的值，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G，作于H，作于K， ，， ； ， ， ， ，， ， ， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴垂直平分线段， 设，则， ， ∵， ， ，即， 解得或负值舍去， ， 则由勾股定理得， ∴根据相似比得， 在中，由勾股定理得． 18. 如图，矩形中，点O为对角线与的交点，点E在射线上，与相交于点F，且，若，则与四边形的面积比为_______（用含t的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，难度较大，解题的关键是熟练掌握面积比与线段比之间的转化． 取中点，连接，则是的中位线，那么，则∽，，，那么， 然后导角得到，则故，，由相似三角形的性质得到，则，即可求解与四边形的面积比． 【详解】解：如图，取中点，连接 ， ， ∵矩形 ∴，， 则是的中位线． ， ∽，， ∴ ， ， ， ∵∽ ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算负整指数幂、绝对值、二次根式化简和零指数幂，再进行加减运算. （2）先将方程化为一般形式，然后利用因式分解法求解方程. 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 则或， 所以，. 【点睛】本题考查了实数的混合运算、负整指数幂、二次根式化简、零指数幂、绝对值的化简、解一元二次方程等知识点，关键是熟练应用知识点进行准确计算. 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； （3）直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格平移作图，位似图形作图，位似图形的性质，相似三角形的性质； （1）按平移的要求作图，即可求解； （2）按位似图形的作法作图，即可求解； （3）由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质即可求解； 能熟练在网格中平移作图及作位似图形，并能由位似图形的性质进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 为所求作； 【小问2详解】 解：如图， 为所求作； 【小问3详解】 解：由（2）得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤ （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【21题详解】 解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0， 解得m≤； 【22题详解】 根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4， ∵（x1-3）（x2-3）=m2-1， ∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1， ∴2m-4-3×1+9=m2-1， ∴m2-2m-3=0， 解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）． 故m的值是-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，且，连接． （1）求证；四边形是矩形； （2）连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据菱形的性质得出相等的边和直角，证明四边形是平行四边形，然后再根据直角得出矩形； （2）根据菱形的性质得出直角和相关线段的长度，然后利用勾股定理求出的长度，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ，即， 四边形平行四边形． ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理，得， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， ∵， ∴， ∴， ∴点F为的中点． ． 23. 如图，在等腰中，，，点D，E分别在边上，将线段绕点E按逆时针方向旋转得到． （1）如图1，若，点E与点C重合，与相交于点．求证：； （2）已知点G为的中点． ①如图2，若，，求的长； ②若，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②满足条件的EC的值为或或 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，四点共圆等，理解题意，作出相应辅助线，分情况分析是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，再利用平行四边形的判定和性质得出四边形ADFC是平行四边形，即可证明； （2）作于点T，于，根据题意得出，，利用全等三角形的判定和性质得出≌，，确定，D，E，F四点共圆，再由勾股定理及直角三角形的性质求解即可； 分三种情况，当时，F，E，G，A共线，作于点T，于；当时，取AB的中点O，连接作于；当时，取AB的中点O，连接OG，CG，作于T，于H，于；分别作出相应辅助线，然后利用全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【小问1详解】 证明：，，， ，， ， ， ， ∴， 四边形ADFC是平行四边形， ， ∴； 【小问2详解】 ①解：如图2中，作于点T，于 由题意：，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ≌， ， ， ，D，E，F四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：如图，当时，F，E，G，A共线，作于点T，于设 ， ， ，， ， ≌， ， ， ∵， ， ， 整理得：， 解得； 如图，当时，取AB中点O，连接作于 设，由2①可知，， ， ，， ， ∽， ， ， 整理得：， 解得或舍弃； 如图，当时，取AB的中点O，连接，作于T，于H，于设 ， ，B，F，E四点共圆， ， ， ， ，， ， ， ， 垂直平分线段，， ，G，C共线， ∵≌， ∴，，，，，， ∵∽， ∴， ， 解得， 综上所述，满足条件的EC的值为或或2． 24. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】（1）采茶基地的长为米，宽为米； （2）小路的宽度为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设采茶基地宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 25. 平行四边形ABCD中，点E、F分别是边上的点． （1）如图1，若E是中点，，求证：； （2）如图2，若． ①当，时，求的长； ②当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①的长为3；② 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）延长交于H，根据平行四边形的性质得出，，再由全等三角形的判定得出≌，利用全等三角形的性质即可证明； （2）延长交于M，根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出，设，则，然后求解即可； ②由①知，设，，利用相似三角形的判定和性质建立方程组求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，延长交于H， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 是边中点， ， ≌， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①延长交于M， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， 又， ∽， ， ，， ， ∽， ， ， 设，则， ， ， ， ∵， ∽， ， ， ， ； ②由①知， ， ， 设，， ∽， ，即， ，， ，即， ，， ， ∽， ，即， ， 解得或舍去 ． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线：交于点C，过点A作平行于的直线交y轴于点． （1）当时，求点C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P、点Q在直线上运动（点P在点Q左侧），点R在直线上运动，当点为顶点的四边形为矩形时，求出点R的坐标及对应的线段的长度； （3）如图2，点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接，当时，直线：与直线交于点M，与x轴交于点．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2），或， （3）的值是定值，这个定值是2 【解析】 【分析】（1）求点C的坐标即求直线和直线的交点坐标，根据，解方程即可解答； （2）分类讨论，当为边时，利用两直线平行可得相等，可得的解析式，再把点的坐标代入的解析式可得，根据当四边形为矩形时，，，利用方程组的解可得的坐标；当为对角线时，即的中点恰好落在上，设，则，因为在直线上，代入得即可求得，则的坐标可求，即可求． （3）利用方程组的解可得点的坐标，根据三角形的面积公式和，可得，利用勾股定理计算和的长，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 当时， 解得， ； 【小问2详解】 解：，的解析式为：， 设AF的解析式为：， 把点A的坐标代入得：， ， 的解析式为：， 当为边时，如图， 作交于，作交于，在上的左侧截取，则四边形为矩形， 的解析式为：， 联立， 解得， ， ； 当为对角线时，如图， 在找点，连接其中点恰好落在上，在上截取线段（点P在点Q左侧），使为中点，且，则四边形为矩形， 设， ∵是中点， 则， ∵在直线上，代入得： ， ， ， ； 综上所述，或，； 【小问3详解】 解：的值是定值2， ， ， ， 则 ， 当时， ， 解得， ， ， 直线AF：， 当时， 解得， ， ， ， ，， 【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，三角形的面积，两直线的交点问题，矩形的性质和判定，熟练相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市青羊区泡桐树中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 4. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 19 D. 17或19 5. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作于点C，于点D．已知，，，，若球手恰好能击中B球，则的长为（ ） A 8cm B. 10cm C. 12cm D. cm 8. 在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 若，则___________________． 10. 化简：（1_____． 11. 已知线段，C为线段的黄金分割点，则______． 12. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门十五步有木，出西门六十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为_______． 13. 如图，矩形中，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．则的面积为___________． 14. 若实数a，b，c满足，且，则__________． 15. 若，是方程两个实数根，则代数式的值等于_______． 16. 如果一个四边形对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．如图，三角形为等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形，且为直角三角形，，则_______． 17. 如图，矩形中，，E边上一点，F为上一点，且，，，则_______． 18. 如图，矩形中，点O为对角线与的交点，点E在射线上，与相交于点F，且，若，则与四边形的面积比为_______（用含t的代数式表示）． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算、解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； （2）以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； （3）直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，且，连接． （1）求证；四边形是矩形； （2）连接交于点F，若，，求的长． 23. 如图，在等腰中，，，点D，E分别在边上，将线段绕点E按逆时针方向旋转得到． （1）如图1，若，点E与点C重合，与相交于点．求证：； （2）已知点G为的中点． ①如图2，若，，求的长； ②若，当是直角三角形时，请求出的长． 24. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 25. 平行四边形ABCD中，点E、F分别是边上的点． （1）如图1，若E是中点，，求证：； （2）如图2，若． ①当，时，求的长； ②当，，时，求的长． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线：交于点C，过点A作平行于的直线交y轴于点． （1）当时，求点C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P、点Q在直线上运动（点P在点Q左侧），点R在直线上运动，当点为顶点的四边形为矩形时，求出点R的坐标及对应的线段的长度； （3）如图2，点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接，当时，直线：与直线交于点M，与x轴交于点．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $