精品解析：河北省邯郸市武安市淑村镇中学、磁山镇上洛阳学校联考2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

九年级数学期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版一元二次方程－圆． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 2. 下列图形中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念判断即可． 【详解】解：选项B中的图形，能找到一固定点，使得图形绕着该固定点旋转后能够与原来的图形重合，故它是中心对称图形；其它三个选项中的图形，不能找到一固定点，使得图形绕着该固定点旋转后不能与原来的图形重合，故它们不是中心对称图形； 故选：B． 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 在方程两边同时除以，得：，即， 配方，得：， 即． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（　　） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 将其向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到二次函数． 故选：D． 5. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 6. 如图，在中，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，连接是解题的关键； 连接，利用圆周角定理求出，，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接， 根据圆周角定理，可得，， ． 故选：D． 7. 某地区去年投入教育经费2500万元，预计今明两年投入6600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及考查学生理解题意的能力，设该地区教育经费的年平均增长率为x，根据去年投入教育经费2500万元，预计今明两年投入6600万元可分别表示出两年投入列方程即可，知道去年的投入和今明两年共投入6600万元，经过两年的增长可列出方程求解． 【详解】解：设该地区教育经费的年平均增长率为x， 由题意可得：． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，， ∴， ∵将菱形绕原点逆时针方向旋转， ∴，则， ∴ ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9. 如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 13 C. 26 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ， ①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得， 解得：，又此时， 故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若点在第三象限，则点关于原点的对称点在__________． 【答案】第二象限 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 先根据在第三象限即可确定，从而可以确定所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ， ， ∴在第四象限， ∴点关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：第二象限． 12. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 14. 如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移，如图2，边与圆的两个交点对应的长为，则可知井盖的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．过圆心P作，交圆P于E，交于F，得到，设圆P的半径为r ，则 ，在中，，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过圆心P作，交圆P于E，交于F， 则， 设圆P的半径为r ，则 在中，，即， 解得：， 则井盖的半径是， 故答案为： 15. 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点与点也在该抛物线上，下列结论：①点B的坐标为；②方程有两个不相等的实数根；③④当（为常数）时，．其中正确结论的序号是__________ 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据点与点也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点A的坐标即可求出点B坐标，可以判断①选项；根据图象可知抛物线与有两个交点，可以判断②选项；将A，B点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据，即可判断③选项；根据对称性可知当时和时函数值相等都是c，即可判断④选项． 【详解】解：∵点与点也在该抛物线上， ∴该抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与x轴交于，B两点， ∴，B两点关于对称轴对称， ∴， 故①选项符合题意； ∵图象开口向下，与x轴交于A，B两点， ∴抛物线与有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②选项符合题意； 将A，B点坐标代入抛物线解析式，得， 解得， ∴， ∵， ∴，即③， 故③选项不符合题意； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，， 故④选项不符合题意； 故答案为：①②． 16. 如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得． 【详解】解：由旋转得， ∵的角平分线经过的中点， ∴，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里a=3，b=6，c=-4， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 18. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． （1）求a的值； （2）点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 【答案】（1）60 （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再证明为等边三角形得到，从而得的值； （2）先根据旋转的性得到，，再证明，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，接着中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的值． 【小问1详解】 解：绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 为等边三角形， ， 即的值为60； 【小问2详解】 解：绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和平行四边形的判定． 19. 商场购进某种新商品的每件进价为60元，在试销期间发现，当每件商品的售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． （1）当每件商品的售价为75元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元； （2）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到400元． 【答案】（1）25；375 （2）80元 【解析】 【分析】（1）根据当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，得到涨价5元，日销售量减少5件，再根据单件利润乘以销售量求出每天的盈利； （2）设定价为x元，根据单件利润乘以销售量求出每天的盈利列方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件， ∴当每件商品的售价为75元时，涨价5元，日销售量减少5件，每天可销售（件）， 商场每天可盈利（元）， 故答案为：25；375； 【小问2详解】 设定价为x元，由题意可得： ， 解得，（符合题意）， 答：每件定价为80元时，商场每天的盈利达到400元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解销售问题中的数量关系：单件利润乘以销售量等于每天的盈利是解题的关键． 20. 如图（1），为的两条弦，且，连，． （1）求证：； （2）如图（2），若，作于，求证：． 【答案】（1） 证明：过点分别作，于点，，连接，，，如图所示， 则有，， 又 ，即 （2） 证明：连接，，，如图所示， 由（1）可知， 又 为斜边上的中线 【解析】 【分析】（1）过点分别作，于点，，连接，，，根据垂径定理可推出，从而证明，得到，利用角的和差得到，即可证明； （2）连接，，，由（1）可知，结合可得到，然后根据圆周角定理的推论可得到，最后利用垂径推出为斜边上的中线，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的证明与性质，圆周角定理及其推论，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先将线段绕点A顺时针旋转得到线段，再在线段上画点N，使得； （2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转得到点C，再画点B关于直线的对称点Q． 【答案】（1） 如图1中，线段，点即为所求； （2）如图2中，点，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可．利用网格特征构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； （2）利用网格特征作出等腰直角三角形即可，线段交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，线段交直线于点，连接延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1中，线段，点即为所求； 由旋转的性质可得， 点分别是的中点， 是等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 解：如图2中，点，点即为所求． 由作图可得， ， ， 点A绕点P逆时针旋转得到点C， 由作图可得， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 点B与点Q关于直线的对称． 22. 图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②不能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． 【小问2详解】 解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 23. 如图，在中，，，点为内一点． （1）如图（1），，，连接，求证：； （2）如图（2），为的中点，若，，，求线段的长； （3）如图（3），在（2）的条件下，若点为平面内一点，，连，将线段绕点顺时针旋转至，连，请直接写出的最大值． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，进而证明，即可得证； （2）作使得，连接，延长至点，使得，连接，根据（1）的方法可得，进而证明得出是等边三角形，则，解，得出，进而即可求解； （3）延长至，使得，连接，证明得出是等边三角形，求得，得出，进而根据的最大值为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，作使得，连接，延长至点，使得，连接， 同（1）可得 ∴ ∵，则 如图所示过点作，则 ∴， ∴ ∵是的中点，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形，则 在中， 如图所示，作交直线于点 ∴，则 ∴， 在中，， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：如图所示，延长至，使得，连接， 由（2）可得，，则 ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ 依题意，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵将线段绕点顺时针旋转至 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵，即点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴，即点在为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴ ∴的最大值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值，全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）长度的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键． （1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可； （2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可； （3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可． 【小问1详解】 解：代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 如图，过点作轴交轴于点，则， 设，则， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， 解得：（舍），， 点的坐标为． 【小问3详解】 设，， 设的解析式为， 代入得，， ， ， 联立， 消去整理得：， 与抛物线只有唯一公共点， ， 整理得：， 解得：， ， 同理可得，， 联立与可得交点； ， ， ， ， ， ， 当时，， 即经过定点， ， ， 当时，长度有最大值， 线段长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版一元二次方程－圆． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列图形中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（　　） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 6. 如图，在中，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 某地区去年投入教育经费2500万元，预计今明两年投入6600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 9. 如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 13 C. 26 D. 24 10. 定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若点在第三象限，则点关于原点的对称点在__________． 12. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 13. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 14. 如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移，如图2，边与圆的两个交点对应的长为，则可知井盖的半径是______． 15. 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点与点也在该抛物线上，下列结论：①点B的坐标为；②方程有两个不相等的实数根；③④当（为常数）时，．其中正确结论的序号是__________ 16. 如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． （1）求a的值； （2）点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 19. 商场购进某种新商品的每件进价为60元，在试销期间发现，当每件商品的售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． （1）当每件商品的售价为75元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元； （2）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到400元． 20. 如图（1），为的两条弦，且，连，． （1）求证：； （2）如图（2），若，作于，求证：． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先将线段绕点A顺时针旋转得到线段，再在线段上画点N，使得； （2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转得到点C，再画点B关于直线的对称点Q． 22. 图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 23. 如图，在中，，，点为内一点． （1）如图（1），，，连接，求证：； （2）如图（2），为的中点，若，，，求线段的长； （3）如图（3），在（2）的条件下，若点为平面内一点，，连，将线段绕点顺时针旋转至，连，请直接写出的最大值． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $