期中培优：一元二次函数、方程和不等式10种高频考点专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中培优：一元二次函数、方程和不等式10种高频考点专项训练 期中培优：一元二次函数、方程和不等式10种高频考点专项训练 考点目录 作差法比较大小 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质求参数范围 二次不等式、分式不等式、高次不等式的求解 二次不等式在实数集上恒成立问题 二次不等式在某区间上恒成立问题 二次不等式在某区间上有解问题 由一元二次不等式的解确定参数 一元二次方程根的分布问题 一元二次不等式的应用 考点一 作差法比较大小 例1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，则与大小关系是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知，，则U和V之间的大小关系是 . 例3．（25-26高一上·广西南宁·阶段练习）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与． 变式1．（25-26高一上·山东淄博·阶段练习）已知，比较的大小（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·天津河北·阶段练习），，，则有P Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 变式3．（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，试比较和的大小. 考点二 利用不等式的性质证明不等式 例1．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列命题中，是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 例2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）对于实数、、，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（25-26高一上·重庆渝中·阶段练习）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）下列不等关系正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 变式3．（25-26高一上·重庆·阶段练习）以下说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 考点三 利用不等式的性质求参数范围 例1．（25-26高一上·陕西·阶段练习）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·河北·阶段练习）已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； 变式1．（25-26高一上·天津·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 变式2．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）已知，则的取值范围为 . 变式3．（25-26高一上·广东·阶段练习）已知，，则的取值范围是 . 变式4．（25-26高一上·云南楚雄·阶段练习）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 考点四 二次不等式、分式不等式、高次不等式的求解 例1．（25-26高一上·四川达州·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 例2．（25-26高一上·重庆·阶段练习）求下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 例3．（25-26高一上·江西赣州·阶段练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）解关于的不等式． 变式1．（25-26高一上·天津南开·阶段练习）求解以下关于x的不等式． (1)； (2) (3) (4) 变式2．（25-26高一上·四川资阳·阶段练习）解关于的不等式. (1)； (2)； (3). 变式3．（25-26高一上·天津南开·阶段练习）解关于的不等式． 考点五 二次不等式在实数集上恒成立问题 例1．（25-26高一上·天津河北·阶段练习）若关于的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 例2．（25-26高一上·广东湛江·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·山东·阶段练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式， (1)若，求不等式的解集； (2)当时，求方程的解与不等式的解集． (3)若不等式的解集为，求的取值范围． 变式1．（25-26高一上·天津·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 变式2．（25-26高一上·新疆塔城·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值集合是 . 变式3．（25-26高一上·上海·阶段练习）若关于的代数式有意义的的集合为，则实数的取值范围是 ． 变式4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围： (2)当时，求不等式的解集． 考点六 二次不等式在某区间上恒成立问题 例1．（25-26高三上·海南海口·阶段练习）若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·山东烟台·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知命题，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·山东·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则 . 变式2．（25-26高一上·湖北·阶段练习）若在区间上恒成立，则的取值范围为 ． 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若“”为假命题，则实数的取值范围是 . 考点七 二次不等式在某区间上有解问题 例1．（25-26高一上·天津南开·阶段练习）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江西·阶段练习）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·云南·期中）命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·山东德州·阶段练习）命题：，使得是真命题，则的取值范围是 ． 变式2．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是 . 变式3．（25-26高一上·山东聊城·阶段练习），则的取值范围是 . 考点八 由一元二次不等式的解确定参数 例1．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．4 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 例2．（25-26高一上·陕西·阶段练习）关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．方程的解集是 例3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 变式1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏·阶段练习）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是. D．当时，关于x的不等式的解集为或 考点九 一元二次方程根的分布问题 例1．（25-26高一上·陕西·阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 例2．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·广西百色·阶段练习）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 . 变式2．（25-26高一上·浙江·阶段练习）若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是 . 变式3．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 考点十 一元二次不等式的应用 例1．（25-26高一上·上海·阶段练习）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 例2．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 例3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 变式1．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 变式2．（24-25高一上·河南·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 变式3．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：一元二次函数、方程和不等式10种高频考点专项训练 期中培优：一元二次函数、方程和不等式10种高频考点专项训练 考点目录 作差法比较大小 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质求参数范围 二次不等式、分式不等式、高次不等式的求解 二次不等式在实数集上恒成立问题 二次不等式在某区间上恒成立问题 二次不等式在某区间上有解问题 由一元二次不等式的解确定参数 一元二次方程根的分布问题 一元二次不等式的应用 考点一 作差法比较大小 例1．（25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，则与大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C 例2．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知，，则U和V之间的大小关系是 . 【答案】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，，所以，故. 故答案为： 例3．（25-26高一上·广西南宁·阶段练习）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以当时，， 当时，； 当时，. 变式1．（25-26高一上·山东淄博·阶段练习）已知，比较的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以， 所以. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·天津河北·阶段练习），，，则有P Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 【答案】 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】因为 ，当且仅当时，等号成立. 所以 故答案为： 变式3．（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，试比较和的大小. 【答案】答案见解析. 【详解】依题意， ， 由，得， 所以当时，； 当时，； 当时，. 考点二 利用不等式的性质证明不等式 例1．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列命题中，是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】解：对于A选项，取，满足，但不满足，故错误； 对于B选项，由，，则，故，故正确； 对于C选项，由得，，故，即，故正确； 对于D选项，由得，故，故错误. 故选：BC 例2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于 A ，由 ，得 ，所以 ，故 A 错误； 对于 B，由 ，得 ，故 B 正确； 对于 C ，由 ，得 ，当 时， ，故 C 错误； 对于 D，由 ，可得 ，得 ，故 D 正确． 故选：BD. 例3．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）对于实数、、，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，当时，则，A错； 对于B选项，若，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，则， 由不等式的基本性质可得，即，C对； 对于D选项，若，则，，即，D对. 故选：BCD. 变式1．（25-26高一上·重庆渝中·阶段练习）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，由，得，又，所以，故B正确； 对于C，取，，但，，则，故C错误； 对于D，由，则，得，故D正确. 故选：BD. 变式2．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）下列不等关系正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若则，排除；若，则，此时；若，则，，则，排除.故，故B不正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：AC. 变式3．（25-26高一上·重庆·阶段练习）以下说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，，得，，则，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：AC 考点三 利用不等式的性质求参数范围 例1．（25-26高一上·陕西·阶段练习）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则解得 因为，，所以， 即的取值集合为． 故选：D 例2．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为，，则，所以，故B正确； 对于C：当时，因为，所以， 当时， 当时，，因为，所以， 所以， 综上可得，故C正确； 对于D：当时，因为，所以，所以， 当时， 当时，，因为，所以，所以， 所以， 综上可得，故D错误； 故选：D 例3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 例4．（25-26高一上·河北·阶段练习）已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于， 将两不等式相加可得； （2）由，得， 结合，可得， 即； （3）设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. 变式1．（25-26高一上·天津·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题设，则. 故答案为： 变式2．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，， 由，得，而， 因此，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式3．（25-26高一上·广东·阶段练习）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，则，而，故， 所以，的取值范围是. 故答案为： 变式4．（25-26高一上·云南楚雄·阶段练习）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 考点四 二次不等式、分式不等式、高次不等式的求解 例1．（25-26高一上·四川达州·阶段练习）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）原不等式等价于， 因为，当且仅当时等号成立， 所以不等式等价于，解得， 所以不等式解集为； （2）当时，，所以原不等式可化为， 解得，此时不等式解为； 当时，，所以原不等式可化为， 解得，此时不等式解为； 综上，不等式解集为. 例2．（25-26高一上·重庆·阶段练习）求下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）不等式，其对应的一元二次方程为， 因式分解得，解得或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为； （2）不等式，其对应的一元二次方程为， 在方程中，得， 所以方程无实根， 二次函数为开口向下的二次函数，且与轴无交点， 所以函数的值恒小于， 即不等式的解集为； （3）将不等式移项，得，通分后化简，可得，即， 等价于且， 一元二次方程的解为或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为， 又，解得， 所以不等式的解集为. 例3．（25-26高一上·江西赣州·阶段练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，； 当时，； 当时， 【详解】对二次函数进行配方，可得，抛物线开口向上，对称轴为，当，即时，区间在对称轴左侧，函数单调递减， 所以； 当，即时，对称轴在区间内，函数在顶点处取得最小值，所以； 当时，区间在对称轴右侧，函数单调递增， 所以； 综上，函数的最小值为． （2）当，即时，不等式化为，即； 当，即时，判别式， 方程的两根为， 即，； 又因为，所以，所以， 因此不等式的解集为或； 当，即时，方程的两根仍为，， 又因为，所以，所以， 因此不等式的解集为； 综上，不等式的解集为：当时，；当时，；当时，． 变式1．（25-26高一上·天津南开·阶段练习）求解以下关于x的不等式． (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【详解】（1）由得， 因为的两根为，    由二次函数的图象得原不等式的解集为； （2）由得， 因为的两根为，    由二次函数的图象得原不等式的解集为或； （3）由得，解得， 所以原不等式的解集为； （4）由得，即， 即，解得， 所以原不等式的解集为． 变式2．（25-26高一上·四川资阳·阶段练习）解关于的不等式. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为或； （2），当时，，，解集为， 当时，原不等式转为，即，解得， 所以不等式的解集为； （3）， 原不等式转化为， 当时，解得； 当时，解得， 当时，，解集为， 综上， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 变式3．（25-26高一上·天津南开·阶段练习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【详解】由题意， （1）当时，原不等式化为，所以，解集为； （2）当时，，， （Ⅰ）当时，，原不等式的解为； （Ⅱ）当时，，原不等式的解为 或； （Ⅲ）当时，，原不等式的解为 或； （Ⅳ）当时，，原不等式的解为 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 考点五 二次不等式在实数集上恒成立问题 例1．（25-26高一上·天津河北·阶段练习）若关于的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】.当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立， 当，即时，若对一切实数x都成立， 则，解得， 综上所述，若对一切实数x都成立， 则a的取值范围为. 故选：A. 例2．（25-26高一上·广东湛江·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，恒成立， 所以，即，解得. 所以，实数的取值范围是. 故选：B 例3．（25-26高一上·山东·阶段练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立； 当时，需满足，解得． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：C． 例4．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式， (1)若，求不等式的解集； (2)当时，求方程的解与不等式的解集． (3)若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)方程的解为，不等式的解集为或； (3). 【详解】（1）当时，不等式，即，则， 解得，所以原不等式的解集为. （2）当时，方程中，，解得， 不等式的解集为或. （3）由不等式的解集为，得，解得， 所以的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·天津·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因不等式对任意恒成立，所以讨论如下， ①当，不等式对任意恒成立，符合题意； ②当，， 可得，即，解得. 综合①②得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式2．（25-26高一上·新疆塔城·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值集合是 . 【答案】 【详解】由，使得恒成立， 当时，不等式，解得，不符合题意； 当时，显然不成立； 当时，则需满足，即，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 变式3．（25-26高一上·上海·阶段练习）若关于的代数式有意义的的集合为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由关于的代数式有意义的的集合为，得对任意实数，， 当时，，符合题意，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围： (2)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，’解得； 所以实数的取值范围是. （2）当时，， 当时，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 考点六 二次不等式在某区间上恒成立问题 例1．（25-26高三上·海南海口·阶段练习）若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，为真命题， 则时，成立，得； 当时， 的对称轴，则在单调递增，成立； 综上实数的取值范围是， 故选：D. 例2．（25-26高一上·山东烟台·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据，为真命题， 可化为：，恒成立，则需， 所以“，” 为真命题的一个充要条件是， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件为集合的真子集， 所以符合题意. 故选：D 例3．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知命题，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知命题，是假命题， 则命题：，是真命题， 即当时，有解， 所以，当且仅当时，， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 变式1．（25-26高一上·山东·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则 . 【答案】3 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 所以对任意，恒成立. 设， 由可得，即①， 由可得，即②， 由可得，即③， 令， 则由解得， 所以， 由①可得④， 由③可得⑤， 由④+⑤可得⑥， 由②⑥可得. 故答案为：. 变式2．（25-26高一上·湖北·阶段练习）若在区间上恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设， 由二次函数图像性质，在区间上恒成立， 只需， 解得， 故答案为：. 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若“”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若“”为真命题，则， 当时，，所以此时， 所以若“”为假命题，则. 故答案为： 考点七 二次不等式在某区间上有解问题 例1．（25-26高一上·天津南开·阶段练习）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 若要使不等式有实数解； 则需要满足即可， 又， 则； 则，解得或； 故选：A． 例2．（25-26高一上·江西·阶段练习）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 例3．（24-25高一下·云南·期中）命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“，”是真命题， 所以不等式有解， 因此方程的判别式， 故选：B 变式1．（25-26高一上·山东德州·阶段练习）命题：，使得是真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知命题：，使得是真命题， 分离参数得，因为，当且仅当时等号成立， 则. 故答案为： 变式2．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，关于x的不等式有解， 所以有解，所以， ， 当且仅当时取最小值6， 则的取值范围是. 故答案为：. 变式3．（25-26高一上·山东聊城·阶段练习），则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】当时，，不合要求，舍去； 当时，开口向下，满足要求； 当时，开口向上，需满足， 解得， 综上，或 故答案为：或 考点八 由一元二次不等式的解确定参数 例1．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．4 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 例2．（25-26高一上·陕西·阶段练习）关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．方程的解集是 【答案】BC 【详解】由题意可知所以故A不正确，B正确； 不等式可化为， 即 所以解集为，故C正确； 方程可化为，即， 所以方程的解集是，故D不正确． 故选：BC. 例3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【答案】AC 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 变式1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】由题意得：的解为和，且， 所以，解得：， 故A正确， ，即，解得：，故B正确； ，故C错误； 变形为，不等式除以得：， 解得：，故D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】不等式的解集是， 所以，和是方程的两根. 所以，所以，所以A正确，B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：AC 变式3．（25-26高一上·江苏·阶段练习）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是. D．当时，关于x的不等式的解集为或 【答案】BD 【详解】A，由不等式的解集是，可得，A错误； B，的两根为和，则，得，则，B正确； C，不等式，即，即， 由于，则其解集为，C错误； D，当时，，不等式，即， 等价于，解得或，D正确； 故选：BD. 考点九 一元二次方程根的分布问题 例1．（25-26高一上·陕西·阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 例2．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 例3．（25-26高一上·广西百色·阶段练习）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 变式1．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 . 【答案】 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 变式2．（25-26高一上·浙江·阶段练习）若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】令. ∵函数对称轴为直线， ∴要使有两个正整数实根， 这两个根只能， 则当时，,且时，， 解得. 故答案为： 变式3．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 考点十 一元二次不等式的应用 例1．（25-26高一上·上海·阶段练习）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【详解】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 例2．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 例3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【答案】(1)，； (2)20 (3)每次购买量在吨范围内. 【详解】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每次购买20吨； （3）由题意得，解得， 故每次购买量在吨范围内. 变式1．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 变式2．（24-25高一上·河南·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 变式3．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 2 学科网（北京）股份有限公司 $