二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度问题专项训练 二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度问题专项训练 考点目录 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 角度问题 考点一 特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点，， ，． ∵抛物线经过点，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：． 证明：由（1）知抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． （3）解：存在． 设，则，， ， ， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，即 解得（舍去）或或， 或． ②当时， ，即 解得（舍去）或（舍去）或， ． ③当时， ，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，点的坐标为或或或． 例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 变式1．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ，解得， ，则； （2）解：如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ，，， 当时，，即解得； 当时，，即解得； 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或． 变式2．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 变式3．（25-26九年级上·河北保定·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为 (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 答：抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为． （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或． 考点二 特殊四边形存在性问题 例1．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 例2．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 例3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为， (3)存在，点E的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； （3）解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 变式1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 变式3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，， 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 考点三 角度问题 例1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接、，过点B作交抛物线于点D，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线．点M为直线上一点．将直线绕点M逆时针旋转得到直线，其中，直线与新抛物线交于点N．若，请直接写出所有符合条件的点N坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，通过几何性质求出点坐标是解题关键； （1）代入点坐标求解即可； （2）先通过平行线，将四边形的面积转化为的面积，从而通过设点P的坐标，用二次函数表示面积与点P的坐标的关系，求出最值；再构建直角三角形（胡不归模型），将转化为另一线段长，通过垂线段最短求出最小值； （3）先根据的斜率为1，求出新抛物线的解析式，再分情况讨论，通过与，的关系，用含的式子表示，通过过点C构造出对应的角度，求出此时对应角度所在的直线解析式，与联立，求解即可． 【详解】（1）解：代入点，得 解得 ∴； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， ∵， ∴可设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 令， 解得，， 令，得， ∴， 如图，连接，过点P作轴，交于点M， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 设，则，， ∴， ∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大， ， ∴此时点P的坐标为， 如图，作直线，使得，且，则，连接，过点P作， ∴， ∴即为的最小值， 设， 由题意，得， 设直线的解析式为， 代入，得， ∴， ∴， 设点，则，，， 又∵， ∴， 解得（舍去），或， 当时，； （3）解：∵，， ∴， ， 故抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 故， 分两种情况讨论： 第一种：如图，若是的外角，则，交x轴于点E，取点，则， 由题意，得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，平分， 设点E到的距离为h，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 联立，得， 解得（由图可知，不合题意，舍去），， 当时，， ∴； 第二种：如图，若是的内角，则，顺时针旋转第一种情况下的得到， 由题意，得， ∴， ∴，点在上， 由旋转的性质，易得，，轴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， ∴， 联立，得， 解得（由图可知，不合题意，舍去），， 当时，， ∴， 综上，，或． 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD、BC． ①若CB平分，求二次函数的表达式； ②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：． 【答案】(1)，； (2)①；②见解析 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时， ∴， 当时，， ∵点在点的左侧，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴故答案为：，； （2）①如图，过点作，交于点E， 则， 平分 由（1）知，， 解得：(舍去)， ∴二次函数的关系式为：； ②当时，二次函数， ∵为该二次函数图象上不同两点， ∴，即， ∴是一元二次方程即的两根， ∴， ∴ ∴ 例3．（25-26九年级上·重庆开州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求拋物线的函数表达式： (2)如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：根据抛物线与轴交于点，， 可得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作轴，交于点H，垂足为点M， 由抛物线的解析式为，可知， ， ， 轴， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点P横坐标为m，则，， 则， ， ， 抛物线开口向下， 又， 当时，有最大值为， 点P坐标为， 如图，作点B关于y轴的对称点G，则，连接，交y轴于点N， 根据图象可知当点F与点N重合时，的值最小，此时， 根据勾股定理可知． （3）解：可知， 故将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， 新抛物线的解析式为， 如图，取的中点K，连接并延长，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ，符合题意， ， 点K坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 联立直线和新抛物线的解析式得， 解得或（不合题意，舍去）， 此时， 点M的坐标为； 过点O作，交抛物线于点， ，符合题意， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 联立直线和新抛物线的解析式得， 解得或（不合题意，舍去）， 此时， 点的坐标为； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），点坐标是，抛物线与轴交于点，抛物线顶点为点，连接． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． (2)直线与抛物线的对称轴交于点，点为直线上一动点．当的面积等于的面积的倍时，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一动点，横坐标为，设抛物线在点和点之间的部分（包括点和点）的最高点纵坐标为，最低点的纵坐标为，且，求与的函数关系式． (4)在（2）的条件下，当点在轴上方的直线上时，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)；顶点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)； (4)点坐标为或． 【详解】（1）解：把，分别代入， 可得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设， ∵的面积等于面积的倍， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：由抛物线可知对称轴为直线， 当时，如图， 此时最高点为，最低点为点， 即，， ∴； 当时，如图， 此时最高点为，最低点为点， 即，， ∴； 当时，如图， 此时最高点为，最低点为点， 即，， ∴； 综上，； （4）解：∵点在轴上方， ∴， 当点在上方时，如图，过作，交直线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴交轴于点，过作于点， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 此时点与抛物线顶点重合， ∴； 当点在下方时，如图，过作，交直线于点， 同理可得点， 则直线解析式为， 联立， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 综上，坐标为或． 变式2．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的横坐标为2或 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得： ， 所以抛物线的函数表达式：； （2）解：存在，，理由如下： 连接， ， 设， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大， 把代入中得： ， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴； 过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍）或， ∴ 综上，点Q的横坐标为2或． 变式3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求点坐标及抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请直接写出所有符合条件的的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)的横坐标为或 【详解】（1）解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴； 当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， 设， ∴，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得 当时，，此时与重合， ∴，， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， 解得， ∵在和之间， ∴，此时 ∴； 综上所述，当与互补时，的横坐标为或 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度问题专项训练 二次函数：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题、角度问题专项训练 考点目录 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 角度问题 考点一 特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·河北保定·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 特殊四边形存在性问题 例1．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 变式2．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 角度问题 例1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接、，过点B作交抛物线于点D，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线．点M为直线上一点．将直线绕点M逆时针旋转得到直线，其中，直线与新抛物线交于点N．若，请直接写出所有符合条件的点N坐标． 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD、BC． ①若CB平分，求二次函数的表达式； ②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：． 例3．（25-26九年级上·重庆开州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求拋物线的函数表达式： (2)如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），点坐标是，抛物线与轴交于点，抛物线顶点为点，连接． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． (2)直线与抛物线的对称轴交于点，点为直线上一动点．当的面积等于的面积的倍时，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一动点，横坐标为，设抛物线在点和点之间的部分（包括点和点）的最高点纵坐标为，最低点的纵坐标为，且，求与的函数关系式． (4)在（2）的条件下，当点在轴上方的直线上时，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出此时点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求点坐标及抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请直接写出所有符合条件的的横坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $