精品解析：江西省吉安市泰和区2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试卷

2023—2024年九年级数学学科试卷 说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形的周长比为（　　） A. B. C. D. 2. 菱形周长为，高为，则该菱形有一个内角可能为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 4. 用小方块搭几何体，从左面、正面看到的形状如下图，这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以三边为边向外作正方形，面积分别是，，，若，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点在反比例函数的图象上，则a的值为_________． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD=_____cm． 9. 如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 11. 已知实数a，b满足，则_________． 12. 如图，已知是等腰直角三角形，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到，连接，．当是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时，______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程： 14. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 15. 如图，已知点E是菱形的边的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图（1）中，作一个以为边的平行四边形； （2）在图（2）中，作一个以为对角线的平行四边形． 16. 在一个不透明的布袋里装有4个标有，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同． （1）从布袋中随机取出一个小球，小球上标数字为奇数的概率为 _________；(直接写出结果) （2）甲从布袋中随机取出一个小球，记下上面数字为p，乙在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下上面的数字为q，这样确定了点M的坐标．用树状图或列表法求点在双曲线上的概率． 17. 如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图，△ABC等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F. （1）求证：△ABD≌△BCE （2）求证： 19. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，如果按每件95元销售，日销售量为50件，经调查发现，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价定为80元，则日销售量为______件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）每件产品的售价应定为多少时，该电商每天可盈利1200元？ 20. 消防车是救援火灾重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，伸缩范围为，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，张角范围为，转动点A距离地面的高度为（参考数据：） （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号） （2）某栋楼高，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； （3）已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 22. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”． 如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”； 如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． （1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”．（要求：D、在格点上）； （2）下列说法正确的有 　 　；（填写所有正确结论的序号） ①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形； ③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形． （3）如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D； ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出菱形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024年九年级数学学科试卷 说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形的周长比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴两个三角形的周长比为， 故选A． 2. 菱形的周长为，高为，则该菱形有一个内角可能为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】作图菱形，过A作于点E利用菱形的性质得出边长，进而利用锐角三角函数关系得出的度数， 【详解】如图，作菱形，过A作于点E，则 ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴菱形内角为或， 故选：D 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系，利用锐角三角函数值得到度数是解题关键． 3. 一元二次方程解是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， ， 故选：C． 4. 用小方块搭几何体，从左面、正面看到的形状如下图，这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图和主视图即可判断． 【详解】解：从左面看，说明前面一排有2层，后面一排有1层，排除A、C、D； 从正面看，说明左侧一排有2层，中间一排有1层，左侧一排有2层，故B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查组合体的三视图，培养空间想象力是关键． 5. 如图，以三边为边向外作正方形，面积分别是，，，若，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理与三角函数，利用，可以得到为直角三角形，再利用勾股定理及三角函数的定义即可求解； 【详解】解：∵， 即：, ∴为直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 故选：C 6. 如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形是正方形，，进而可得阴影部分面积等于正方形的面积，根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过作于点，于点，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形，点在的对角线上， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ 阴影部分面积等于正方形的面积， 又∵正方形与正方形相似，， ∴, ∴阴影部分面积与正方形的面积比， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似图形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点在反比例函数的图象上，则a的值为_________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD=_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC． 【详解】解：∵∠ABC=90°，点D为AC的中点， ∴BD=AC=×10=5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键． 9. 如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方．首先证明，然后根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”，求得的面积，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：25． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 已知实数a，b满足，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程转化， 所以． 所以或． 所以或（舍去）． 所以． 故答案为：8． 12. 如图，已知是等腰直角三角形，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到，连接，．当是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时，______． 【答案】30°，60°或150° 【解析】 【分析】分四种情况：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，可得C′E=AC′，得出∠C′AC=30°，即α=30°；当CC′=BC时，如图2，可证得△ACC′是等边三角形，得出∠CAC′=60°，即α=60°；当BC=BC′时，如图3，可得出∠CAC′=90°，即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，得出AE=AC′，∠AC′E=30°，进而求得∠CAC′=90°+60°=150°，即α=150°． 【详解】解：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，取A C′的中点F，连接EF， ∵CC′=BC′，C′D⊥BC， ∴CD=DB=BC， ∵∠ACB=∠C′EC=∠C′DC=90°， ∴四边形CDC′E是矩形， ∴C′E=CD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC， 由旋转得：AC′=AC， ∴C′E=AC′，EF=A C′= C′F， ∴C′E= EF= C′F， ∴三角形C′EF是等边三角形， ∴∠EC′F=60° ∵∠AEC′=90°， ∴∠C′AC=30°， 即α=30°； 当CC′=BC时，如图2， 由旋转得：AC′=AC， ∵CC′=BC，AC=BC， ∴AC=AC′=CC′， ∴△ACC′是等边三角形， ∴∠CAC′=60°， 即α=60°； 当BC=BC′时，如图3， 由旋转得：AC′=AC， ∵BC=BC′=AC， ∴AC=BC=BC′=AC′， ∴四边形ACBC′是菱形， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACBC′是正方形， ∴∠CAC′=90°， 即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去； 当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4， 过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，取A C′的中点F，连接EF， 则∠AED=∠CDC′=∠ACB=90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∴AE=CD，∠CEA=90°， ∵CC′=BC′，C′D⊥BC， ∴CD=BC， 由旋转得AC′=AC， 又∵AC=BC， ∴AE=AC′，EF=A C′=AF， ∴三角形AEF是等边三角形， ∴AE= EF= AF， ∵∠AEC′=90°， ∴∠AC′E=30°， ∴∠C′AE=60°， ∴∠CAC′=90°+60°=150°， 即α=150°； 综上所述，α=30°或60°或150°． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，特殊四边形的性质等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊四边形的性质． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）利用因式分解法解该一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ∴，． 【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握相关解题方法和步骤是解题关键． 14. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 【答案】3米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意证得，得出对应边成比例，即可得出． 【详解】解：由题意知：， 则，， ， ， ， 解得：， 答：的长为3米． 15. 如图，已知点E是菱形的边的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图（1）中，作一个以为边的平行四边形； （2）在图（2）中，作一个以为对角线的平行四边形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接相交于点O，连接交于点F，连接，平行四边形即为所求 （2）在（1）作图基础上，连接交的延长线于点G，连接，平行四边形即为所求． 【小问1详解】 如图（1），平行四边形即为所求．（答案不唯一） 【小问2详解】 如图（2），平行四边形即为所求．（答案不唯一） 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质与判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16. 在一个不透明的布袋里装有4个标有，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同． （1）从布袋中随机取出一个小球，小球上标的数字为奇数的概率为 _________；(直接写出结果) （2）甲从布袋中随机取出一个小球，记下上面的数字为p，乙在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下上面的数字为q，这样确定了点M的坐标．用树状图或列表法求点在双曲线上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率公式求解即可求得答案； （2）根据题意画出表格，即可得到点坐标，然后由表格求得所有等可能的结果与数字、满足的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 从布袋中随机取出一个小球有四种可能的情况，小球上标的数字为奇数的两种情况， 所以小球上标的数字为奇数的概率为：． 故答案为：； 【小问2详解】 列表得： 3 4 3 4 点的坐标所有可能的坐标共12种；其中在双曲线上的有2种，即：，， 点在双曲线上的概率为：． 17. 如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F. （1）求证：△ABD≌△BCE （2）求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【详解】试题分析： (1) 要证△ABD≌△BCE，利用△ABC是等边三角形可以得到，AB=BC，∠ABC=∠BCA. 在这种情况下观察图形可知，在待证明的两个三角形中已经获得一组对应边相等和一组对应角相等，再根据已知条件BD=CE，根据SAS即可证明这两个三角形全等. (2) 观察待证明的等式形式可知，AE应为BE和EF的比例中项. 将待证明的等式改写为比例式后，利用“三点定形法”可以找到一组合适的相似三角形△EBA与△EAF. 观察这两个三角形发现：这两个三角形有一组对应角为公共角；对于另一组对应角∠EBA与∠EAF而言，可以通过第(1)问中的全等三角形和△ABC的性质证明其相等. 利用相似三角形的判定定理即可获得这组三角形相似，进而证明等式成立. 试题解析： (1) ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCA，即∠ABD=∠BCE， ∵在△ABD与△BCE中： ， ∴△ABD≌△BCE (SAS). (2) ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC， ∵△ABD≌△BCE， ∴∠BAD=∠CBE， ∴∠ABC-∠CBE =∠BAC-∠BAD， ∴∠EBA=∠CAD，即∠EBA=∠EAF， ∵在△EBA与△EAF中： ∠AEB=∠FEA (公共角)，∠EBA=∠EAF， ∴△EBA∽△EAF， ∴， 即AE2=BE·EF. 点睛： 利用相似三角形证明比例式的难点在于寻找合适的三角形. 所谓“三点定形法”就是，将待证明比例式中的线段端点与题目图形中的三角形顶点作对照，从而选出两个可能的相似三角形来尝试证明的方法. 灵活运用该方法可以提高寻找相似三角形的效率. 19. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，如果按每件95元销售，日销售量为50件，经调查发现，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价定为80元，则日销售量为______件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）每件产品的售价应定为多少时，该电商每天可盈利1200元？ 【答案】（1）80 （2） （3）90 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由原有的销量加上增加的销量即可得到答案； （2）由原有的销量加上增加的销量列函数关系式即可； （3）利用电商每天销售该产品获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 根据题意得：， ∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为 【小问3详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该产品的售价每件应定为90元． 20. 消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，伸缩范围为，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，张角范围为，转动点A距离地面的高度为（参考数据：） （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号） （2）某栋楼高，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由． 【答案】（1）距地面的高度为 （2）能实施有效救援，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，过点B作，交于点F，交于点G，在中求出的长度，然后计算即可； （2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与比较即可. 【小问1详解】 解：如图，过点作，过点B作，交于点F，交于点G， ∵, ∴四边形是矩形， ∴，， ， ， 在中， ， ， ． 【小问2详解】 解：能实施救援； 当起重臂最长，转动张角最大时，云梯消防车最高点B距地面最高， 即：米，， ， ， ． ， 能实施有效救援． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； （3）已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 【答案】（1）不是 （2）18 （3）①；②4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②将代入进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 ∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为． 22. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （2）如图3，把背景中正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 （3）260 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，，求出，即可得出答案； （2），，，求出，．证明， 得出，，根据，得出，即可证明结论； （3）根据勾股定理得出，，根据得出答案即可． 【小问1详解】 解：如图2，延长交于M，交于N，如图所示： ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 如图3，设与交于Q，与交于点P， ∵，，， ∴，． ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，由（2）知，，，， ∴， ， 又由（2）知， 则． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”． 如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”； 如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． （1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”．（要求：D、在格点上）； （2）下列说法正确的有 　 　；（填写所有正确结论的序号） ①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形； ③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形． （3）如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D； ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①②③④ （3）①见解析；②菱形的边长为2 【解析】 【分析】（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可； （2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可； （3）①先根据已知得出，再结合可推出，，则证明了“准菱形”是平行四边形，又因为即可得出“准菱形”是菱形； ②取的中点M，连接、，证明和为直角三角形，根据M为的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，求出，说明为直角三角形，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，四边形和即为所求． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，故①正确； ②，，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故②正确； ③∵，，， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ④∵，，，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故④正确； 故答案为：①②③④； 【小问3详解】 ①证明：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴“准菱形”是平行四边形， ∵， ∴“准菱形”是菱形； ②如图：取的中点M，连接、， ∵四边形菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴和为直角三角形， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， 即菱形的边长为2． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $