精品解析：山东省济南第一中学2025-2026学年高一上学期10月学情检测数学试题

济南一中2025级高一上学期10月份学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p:，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列不等式中成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 5. 使成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 9 7. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 8. 若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 若实数满足，则的最小值为 A. B. 2 C. D. 4 10. 下列函数中，值域是的是（ ） A B. C. D. 11. 设函数，则值为（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 12. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 已知全集，集合，，则（ ） A. 集合的真子集有7个 B. C. D. 中的元素个数为3 14. 下列选项中正确的有（ ） A. 已知函数一次函数，满足，则或 B 与表示同一函数 C. 函数的图象与直线的交点最多有1个 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 15. 已知，为正数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 16. 函数的定义域是______. 17 已知，则___________ 18. 已知，若f(a)=10，则a=________. 19. 若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________ 20. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________． 21. “高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四､解答题：本题共3小题，共42分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 22. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 23. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 24. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2025级高一上学期10月份学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 2. 命题p:，则它否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，既要注意量词的变化，还要注意命题中结论的变化． 【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定． 故. 故选：A. 3. 已知 ，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由“且”可推出“”， 由“”不能推出“且”，由此可确定选项. 【详解】由“且”可得到“”， 由“”可得同正或同负，不能得到“且”， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 下列不等式中成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 5. 使成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式所对应的集合，再观察所选选项所对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式，则，即， 取 ， ， 则集合是集合的真子集， 即使成立的一个充分但不必要条件是， 故选B. 【点睛】本题考查了充分必要条件，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题. 6. 已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 7. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解. 【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以， ，故BC错误，D正确； 故选：D. 8. 若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 9. 若实数满足，则的最小值为 A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C. 考点：基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 10. 下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的性质，分别求得选项中函数的值域，结合题意，即可求解. 【详解】对于A，由，则函数的值域为，所以A错误； 对于B，由，则函数在时，则，则函数的值域为，所以B错误； 对于C，函数的定义域为，函数，则函数的值域不连续，所以C错误； 对于D，由函数，函数的值域为，符合题意，所以D正确. 故选：D. 11. 设函数，则的值为（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 利用分段函数代入求值即可. 【详解】由， 当，， 当，. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题.属于容易题. 12. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求的解析式，作函数图象，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 又，， 作出函数的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 已知全集，集合，，则（ ） A. 集合的真子集有7个 B. C. D. 中的元素个数为3 【答案】AC 【解析】 【分析】由真子集的概念、并集、补集运算及集合间关系逐项判断即可. 【详解】，， 对于A，集合有3个元素，集合的真子集有个，正确， 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，中的元素个数为5， 故选：AC 14. 下列选项中正确的有（ ） A. 已知函数是一次函数，满足，则或 B. 与表示同一函数 C. 函数的图象与直线的交点最多有1个 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，根据求出，利用得到和的方程组，计算求解即可；对于B，与定义域不同，故不是同一函数，得到答案；对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，得到答案；对于D，由的定义域为，得解出的值就是函数的定义域. 【详解】对于A，设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 对于B，与定义域不同，故不是同一函数，故错误； 对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，故正确； 对于D，由题意得，所以定义域为，故正确. 故选：ACD. 15. 已知，为正数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，对平方后利用基本不等式分析判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于C，由于，再结合基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 16. 函数的定义域是______. 【答案】且 【解析】 【分析】根据根式、分式的性质求函数的定义域. 【详解】由题设，可得且， 所以定义域为且. 故答案为：且. 17. 已知，则___________ 【答案】2 【解析】 【分析】令，即可求解. 【详解】令， 可得， 故答案为：2 18. 已知，若f(a)=10，则a=________. 【答案】-3或5 【解析】 【分析】 分和两种情况，得到所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 故答案为：或5． 【点睛】该题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值，属于基础题目． 19. 若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到，由是“”的必要不充分条件，得到是的真子集，即可求解. 【详解】当时，， 因为函数的图象与轴正半轴相交， 所以，即， 则是“”的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以. 故答案为：. 20. 若关于不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 21. “高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示，    对于①，函数，①错误； 对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④正确； 故答案为：②③④ 四､解答题：本题共3小题，共42分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 22 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 由， 解得，即，则， 则； 【小问2详解】 由可知， 若，即时，符合题意； 若，则要满足题意需，解之得； 综上所述实数的取值范围为. 23. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式求最小值，再解一元二次不等式即可； （2）的最小值求出来，后得到，再根据题意列不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 当且仅当即取得等号． 要使得命题为真命题，只需要，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令．当时． 要使得命题为真命题，只需要，故． 因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题 都是假命题，此时或，可得． 所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是． 24. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）确定是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）分，，，，讨论求解. 【小问1详解】 由题意知，是方程的两个根，且， 则，则. 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为, 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $