2.3 实数 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2.3 《实数》 一、单选题 1．利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 2．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（    ） A． B． C． D． 3．关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 4．按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（   ） A． B． C．3 D． 5．下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 6．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 8．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 10．比较大小： ． 11．若为整数，且，是的小数部分，则 ． 12．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明 将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能） 13．小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 14．定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ． 15．已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……）(2)无理数集合：（        ……）(3)负实数集合：（        ……） 三、解答题 16．计算：（1）．（2）． 17．计算：(1) (2) 18．阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，． 解答以下问题：(1)_________，_________；(2)求的值． 19．运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：，也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则， 两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________， 因为：______________，所以：是一个无理数． 20．阅读下面的文字，解答问题： 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 21．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 22．先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 参考答案 一、单选题 1．C 【详解】解：由题意得，故选：． 2．A 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意；C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A 3．C 【详解】是分数，是有理数，是无理数，不是分数，故选：C． 4．A 【详解】解：当时，算术平方根是，它是有理数， 再取算术平方根是，它还是有理数，再取算术平方根是，它是无理数， 故输出的结果是，故选：． 5．D 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，则此项错误，不符合题意； B、含有根号的数不一定是无理数，如，则此项错误，不符合题意； C、任何实数都有相反数和绝对值，但实数没有倒数，则此项错误，不符合题意； D、任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点，则此项正确，符合题意；故选：D． 6．B 【详解】解：∵，∴，依题意，， ∴，∴，∵，∴当时，则，不符合题意； 当时，则，不符合题意； 当时，则，，符合题意； 当时，则，不符合题意；故选：B． 7．A 【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，∴， ∵，∴，∴，∴点C对应的实数是，故选：A． 8．A 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第n（n是整数，且）行从左向右数第个数为，故选：A 二、填空题 9．5 【详解】解：依题意得：，故答案为：5． 10． 【详解】解：，，，．故答案为：． 11． 【详解】解：∵，，的整数部分，小数部分， ，故答案为：． 12．不能 【详解】解：面积为的正方形的边长为， 长、宽之比为，面积为的长方形， 设长为，宽为，∴，则， ∵，解得，（负值舍去），∴长方形的长为，宽为， ∵，即，∴，∴， ∴贺卡不折叠就不能放入此信封，故答案为：不能 ． 13． 【详解】解：∵输出的数是，∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是，故x的值为，故答案为：． 14． 【详解】解：由题意可得：，∴， ∴m能取得的最大整数为，故答案为：． 15．(1)①③④⑤⑥(2)②⑦⑧⑨(3)②⑤⑦⑧ 【详解】（1）解：，，有理数集合：①③④⑤⑥，故答案为： ①③④⑤⑥； （2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨，故答案为：②⑦⑧⑨； （3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧，故答案为：②⑤⑦⑧． 三、解答题 16．（1）解： ． （2）解： 17．（1）解： （2） ． 18．（1）解：∵，即，的整数部分为3，∴， ∵，即，的整数部分为，∴，故答案为：3，； （2）解：∵，即，的整数部分为， ∴，∴． 19．假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且）， 则，两边同时平方得：， 所以：，可得：，所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 20．（1）解：∵，即，∴的整数部分为3，即， ∵，即∴的小数部分为，即故答案为：3，； （2）解：∵，∴，∴的小数部分为，即； 由可得，，∴， ∴的小数部分为，即；∴． （3）解：∵，即，∴， ∴的整数部分为12，小数部分为，∴， 又∵，其中x是整数，且，∴， ∴，∴． 21．（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，故答案为：； （2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为，∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和，故答案为：，； （3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为； 图3拼成的大正方形面积为5，则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为，则可利用如下图所示作图： 其中，，，∴，∴点表示的数为． 22．（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $