精品解析：甘肃省兰州市红古区2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中质量监测九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. -5 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案． 【详解】一元二次方程的一次项系数是2． 故选：B． 2. 下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意． C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意； D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． 综上，三者共同性质为对角相等， 故选B． 3. 将一元二次方程化成（为常数）的形式，则的值分别是（ ） A. ， B. 3，18 C. 3， D. ，18 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴x2-6x=9， 则x2-6x+9=9+9，即（x-3）2=18， ∴a=-3，b=18， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4. “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 5. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 6. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. 12 C. 0 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握根与系数的关系是解题的关键． 把代入可得到，再由根与系数的关系可得到，转化为，再分别代入和运算即可． 【详解】已知m，n是一元二次方程的两个根，则． 由根与系数的关系，得， 因此． 故选：A． 7. 如图，点P是正方形内位于对角线下方的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，可得，由得到，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是本题的关键． 8. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 根据题意可得出第二周的票房为，第三周的票房为，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 【详解】增长率为x，则第二周的票房为，第三周的票房为， 所以可列方程为． 故选：B． 9. 某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（ ） A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 5cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰梯形的性质及三角形中位线的性质可推出四边形为菱形，根据菱形的性质可求得其边长，再根据三角形中位线的性质即可求得梯形对角线的长度． 【详解】解：连接， 四边形是等腰梯形， ， 各边的中点分别是、、、 ， ， 四边形是菱形， 四边形场地的周长为， ， 。 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质及菱形的判定，证明四边形为菱形是解题的关键． 10. 关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（ ） A. 2036 B. 2030 C. 2032 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“交换二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】因为与是“交换二次方程”， 所以，解得， 则 ， 当且仅当，即时，取得最小值2026， 即代数式能取到的最小值是2026． 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理可得到的长，即可求解． 【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 13. 在中，给出下列条件：①；②；③；④．其中能使成为菱形的是__________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的判定方法即可解题,见详解. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,此项正确, ②；根据对角线相等的平行四边形是矩形,此项错误, ③；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,此项正确, ④；根据有一个角是90°的平行四边形是矩形,此项错误, 综上, 能使成为菱形的是①③. 【点睛】本题考查了菱形的判定和矩形的判定,属于简单题,熟悉矩形和菱形的判定方法是解题关键. 14. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 15. 如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等底等高的三角形面积相等等知识，掌握这些知识是解题的关键；连接，由正方形的性质得，；而，且，则可得，从而问题求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和是两个正方形， ∴，， ∴，； ∵， ， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 17. 如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】略 18. 如图，中，． （1）作点A关于的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） （2）在（1）)条件下，连接，与交于点O，若，，求点B到的距离． 【答案】（1） 如图：点C即为所求． （2）点B到的距离是． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称与尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，证得四边形是菱形成为解题关键． （1）先运用尺规作出线段的垂直平分线，然后再作出即可确定点C； （2）先根据题意作图，再由轴对称的性质、等角对等边可证明四边形是菱形可得、、．运用勾股定理可得，如图：过B点作于E，然后运用等面积法列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵C是点A关于的对称点， ∴，． ∴． ∴四边形是菱形．又，， ∴，，． 在中，由勾股定理得：， 如图：过B点作于E， ∵， ∴． ∴． ∴点B到AD的距离是． 19. 落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒．8月29日，由抖音主办，甘肃省文化和旅游厅、敦煌市委宣传部指导举办的鸣沙山月牙泉“抖音七夕落日派对”隆重启幕．如图，现准备利用活动场地一面墙（最长可用），用总长为的丝带（靠墙一面不用丝带）围成一个矩形观众区．当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为？ 【答案】当AB长度为时，矩形观众区的面积为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 本题可先设出的长度，再根据矩形周长和面积公式列出方程，最后求解方程并结合墙长的限制条件确定的长度． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当AB长度为时，矩形观众区的面积为． 20. 如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵和分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义可得到，即可求证． 【详解】略 21. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： （1）方程的两个实数根为，，则________，________． （2）已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． 【小问1详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 22. 为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： ××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 A：莲蓉月饼 B：五仁月饼 C：豆沙月饼 D：水果月饼 E：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中， ________； （2）请补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率 【答案】（1）120，30； （2）补图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体， 掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 根据频数除以所占百分比等于样本容量，再计算A的占比即可; （2）根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可; （3）画树状图，求解即可. 【详解】解：（1）根据题意，得18÷15%=120（人）， ， 故． 故答案为：120，30． （2）喜欢豆沙月饼的人数为：120-36-12-18-30=24（人）； （3）根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果， ． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）7，3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根， ∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； 24. 某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？ 【答案】每个玩偶应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元，然后根据“当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个”，结合每天利润每个的利润卖出的个数，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因要尽快减少库存，故，经检验，符合题意． 答：每个玩偶应降价6元． 25. 在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形． ①小明的方案，如图1 1．连接； 2．作的垂直平分线，交于点E，F，O； 3．连接； 4．四边形即为所作的菱形． ②小彤的方案，如图2 1．利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H； 2．顺次连接E，F，G，H； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 （1）方案设计正确的是________（写出序号即可）； （2）请选择一种正确的方案进行证明； （3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少． 【答案】（1）①② （2） 解：方案1：四边形为菱形，理由如下： 由作法得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 方案2：四边形为菱形，理由如下： 连接，如图， ∵矩形四条边的中点E，F、G、H， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （3）方案①面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，结合三角形中位线定理，判定两种方案都是正确的，解答即可； （2）根据四边相等的四边形是菱形，进行证明即可； （3）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和平行四边形的面积计算，比较大小即可． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确的； 故答案为：①②； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：方案1：∵四边形是矩形，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， 即， ∴菱形的面积为； 方案2：如图，连接， ∵矩形四条边的中点E，F、G、H， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴菱形的面积为， ∴方案①面积最大，最大面积为． 26. 综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D； （2）①，②； （3），； （4）解：，理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中质量监测九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. -5 D. 0 2. 下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 将一元二次方程化成（为常数）的形式，则的值分别是（ ） A. ， B. 3，18 C. 3， D. ，18 4. “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. 12 C. 0 D. 18 7. 如图，点P是正方形内位于对角线下方的一点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（ ） A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 5cm 10. 关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（ ） A. 2036 B. 2030 C. 2032 D. 2026 11. 如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 13. 在中，给出下列条件：①；②；③；④．其中能使成为菱形的是__________． 14. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 15. 如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： 17. 如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 18. 如图，中，． （1）作点A关于的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） （2）在（1）)条件下，连接，与交于点O，若，，求点B到的距离． 19. 落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒．8月29日，由抖音主办，甘肃省文化和旅游厅、敦煌市委宣传部指导举办的鸣沙山月牙泉“抖音七夕落日派对”隆重启幕．如图，现准备利用活动场地一面墙（最长可用），用总长为的丝带（靠墙一面不用丝带）围成一个矩形观众区．当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为？ 20. 如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 21. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： （1）方程的两个实数根为，，则________，________． （2）已知实数m，n满足，，且，求的值． 22. 为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： ××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 A：莲蓉月饼 B：五仁月饼 C：豆沙月饼 D：水果月饼 E：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中， ________； （2）请补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 24. 某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？ 25. 在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形． ①小明的方案，如图1 1．连接； 2．作的垂直平分线，交于点E，F，O； 3．连接； 4．四边形即为所作的菱形． ②小彤的方案，如图2 1．利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H； 2．顺次连接E，F，G，H； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 （1）方案设计正确的是________（写出序号即可）； （2）请选择一种正确的方案进行证明； （3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少． 26. 综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $