5.2二元一次方程组的解法讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

二元一次方程组的解法 5.2二元一次方程组的解法 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 二元一次方程 2 课前复习 二元一次方程组 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 新课探索 代入消元法 3 新课探索 加减消元法 题型练习 代入消元法 5 题型练习 加减消元法 方程组相同解问题 易错点 11 易错点 总结 12 总结 课前复习 二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程需满足三个条件： ①整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是一次. 二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组需满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程； ②方程组中共含有两个未知数； ③每个方程都是一次方程. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 1、在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解. 2、在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 新课探索 一、代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法一般步骤： ①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. ②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. ④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 【练习】方程组用代入法消去y后得到的方程是( ) ` A 3x-4a-10=0 B 3x-4x+5=8 C 3x-2(5-2ac)=8 D 3x-2(2x-5)=8 答案：D、 分析： 由(1)得：y=2x-5(3), 将(3)代入(2)得：3x-2(2x-5)=8. 故选：D. 二、加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减法一般步骤： ①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数. ②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. ④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解. 【练习】若a、b满足 ,则a-b等于（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案：A 分析： (2)-(1)得a-b=-1. 故选：A. 题型练习 1、 代入消元法 1．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（   ） A．由①得，代入② B．由①得，代入② C．由②得，代入① D．由②得，代入① 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．利用代入消元法解方程组即可得． 【详解】解：方程组， 由①得：，，代入②，得到的方程都含分母； 由②得：，则选项C错误； 由②得：，代入①，得到的方程不含分母； 比较可知，最合适的解法是选项D， 故选：D． 2．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进行消元求解是解题的关键． 根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确． 【详解】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意； B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意； C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意； D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意． 故选：A． 3．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 【答案】A 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组时，直接将①代入②得到的值，进而得到的值． 因此较为简单的方法是代入法． 故选：A． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2、 加减消元法 4．若x，y是二元一次方程组的解，那么的值是（　　） A．15 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组. 直接计算即可. 【详解】解：， 得：， 故选：A． 5．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用加减消元法运算求解即可． 【详解】解：， 得：， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， ∴原方程组的解为： ， 故选：A． 6．方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程得：， 得：， 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故选：C． 3、 方程组相同解问题 7．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 8．下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法、加减消元法是解题的关键．先求出题干中方程组的解，再分别求出各选项方程组的解，对比后即可解题． 【详解】解方程组，得， A、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； B、解方程组，得，与原方程组的解相同，故本选项符合题意； C、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； D、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； 故选：B． 易错点 1. 消元过程中符号处理出错 · 在用加减消元法时，如果两个方程相减，容易忽略减去整个方程时各项符号都要改变。如，若用第一个方程减第二个方程，应得，但有同学会算成。 2. 代入求解时计算错误 · 当求出一个未知数的值代入原方程求另一个未知数时，由于计算粗心而出错。比如已知，代入，应得，从而，，但可能会算成等错误结果。 3. 忽略检验解的合理性 · 解出方程组的解后，不代入原方程组进行检验。如解得，不验证是否同时满足两个方程，可能存在计算过程中的错误未被发现。 总结 一、代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法一般步骤： ①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. ②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. ④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 二、加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减法一般步骤： ①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数. ②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. ④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组的解法 5.2二元一次方程组的解法 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 二元一次方程 课前复习 二元一次方程组 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 新课探索 代入消元法 新课探索 加减消元法 题型练习 代入消元法 题型练习 加减消元法 方程组相同解问题 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程需满足三个条件： ①整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是一次. 二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组需满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程； ②方程组中共含有两个未知数； ③每个方程都是一次方程. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 1、在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解. 2、在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 新课探索 一、代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法一般步骤： ①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. ②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. ④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 【练习】方程组用代入法消去y后得到的方程是( ) ` A 3x-4a-10=0 B 3x-4x+5=8 C 3x-2(5-2ac)=8 D 3x-2(2x-5)=8 二、加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减法一般步骤： ①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数. ②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. ④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解. 【练习】若a、b满足 ,则a-b等于（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 题型练习 1、 代入消元法 1．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（   ） A．由①得，代入② B．由①得，代入② C．由②得，代入① D．由②得，代入① 2．解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 3．解方程组时，较为简单的方法是（   ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定 2、 加减消元法 4．若x，y是二元一次方程组的解，那么的值是（　　） A．15 B．4 C．3 D．2 5．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 3、 方程组相同解问题 7．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 8．下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 易错点 1. 消元过程中符号处理出错 · 在用加减消元法时，如果两个方程相减，容易忽略减去整个方程时各项符号都要改变。如，若用第一个方程减第二个方程，应得，但有同学会算成。 2. 代入求解时计算错误 · 当求出一个未知数的值代入原方程求另一个未知数时，由于计算粗心而出错。比如已知，代入，应得，从而，，但可能会算成等错误结果。 3. 忽略检验解的合理性 · 解出方程组的解后，不代入原方程组进行检验。如解得，不验证是否同时满足两个方程，可能存在计算过程中的错误未被发现。 总结 一、代入法 把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入法一般步骤： ①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. ②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值. ④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 二、加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减法一般步骤： ①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数. ②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. ③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. ④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $